Para que un cuerpo esté en equilibrio rotacional, la suma de los momentos de fuerza (torques) alrededor de cualquier punto debe ser cero. Los momentos de fuerza se calculan multiplicando la fuerza aplicada por la distancia perpendicular desde el punto de referencia hasta la línea de acción de la fuerza.
Dado el problema con los siguientes datos:
- [tex]\( F_2 = 80 \, \text{N} \)[/tex]
- [tex]\( d_1 = 1.5 \, \text{m} \)[/tex]
- [tex]\( d_2 = 2 \, \text{m} \)[/tex]
- [tex]\( d_3 = 4 \, \text{m} \)[/tex]
- [tex]\( F_1 = 10 \, \text{N} \)[/tex]
- [tex]\( F_3 \)[/tex] desconocida
La ecuación del equilibrio de momentos alrededor de un punto se expresa como:
[tex]\[ \sum \tau = 0 \][/tex]
Desglosando los momentos:
1. El momento producido por [tex]\( F_1 \)[/tex]:
[tex]\[ \tau_1 = -F_1 \cdot d_1 = -(10 \, \text{N})(1.5 \, \text{m}) \][/tex]
2. El momento producido por [tex]\( F_2 \)[/tex]:
[tex]\[ \tau_2 = F_2 \cdot d_2 = (80 \, \text{N})(2 \, \text{m}) \][/tex]
3. El momento producido por [tex]\( F_3 \)[/tex]:
[tex]\[ \tau_3 = F_3 \cdot d_3 = F_3 \cdot 4 \, \text{m} \][/tex]
Para que el cuerpo esté en equilibrio, la suma de todos los momentos debe ser cero:
[tex]\[ \tau_1 + \tau_2 + \tau_3 = 0 \][/tex]
Sustituyendo los valores dados:
[tex]\[ -(10 \, \text{N})(1.5 \, \text{m}) + (80 \, \text{N})(2 \, \text{m}) + F_3 \cdot 4 \, \text{m} = 0 \][/tex]
Calculamos los momentos conocidos:
[tex]\[ -15 \, \text{N} \cdot \text{m} + 160 \, \text{N} \cdot \text{m} + F_3 \cdot 4 \, \text{m} = 0 \][/tex]
Resolviendo para [tex]\( F_3 \)[/tex]:
[tex]\[ 145 \, \text{N} \cdot \text{m} + F_3 \cdot 4 \, \text{m} = 0 \][/tex]
[tex]\[ F_3 \cdot 4 \, \text{m} = -145 \, \text{N} \cdot \text{m} \][/tex]
[tex]\[ F_3 = \frac{-145 \, \text{N} \cdot \text{m}}{4 \, \text{m}} \][/tex]
[tex]\[ F_3 = -36.25 \, \text{N} \][/tex]
Sin embargo, debemos considerar los signos y orientaciones físicas para el equilibrio. El obtener [tex]\( F_3 = -36.25 \, \text{N} \)[/tex] indica que esta fuerza, [tex]\( F_3 \)[/tex], debe estar dirigida en sentido opuesto al que asumimos inicialmente para lograr el equilibrio.
