Claro, vamos a resolver el problema paso a paso:
Consideremos el polinomio:
[tex]\[ R(x, y) = 6x^7y^3 - 8x^5y^9 + 3xy^{11} \][/tex]
### Paso 1: Determinar GR(x)
GR(x) es el mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] en cada término del polinomio.
- Para el término [tex]\( 6x^7y^3 \)[/tex], el exponente de [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( 7 \)[/tex].
- Para el término [tex]\( -8x^5y^9 \)[/tex], el exponente de [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( 5 \)[/tex].
- Para el término [tex]\( 3xy^{11} \)[/tex], el exponente de [tex]\( x \)[/tex] es [tex]\( 1 \)[/tex].
El mayor exponente de [tex]\( x \)[/tex] entre estos términos es [tex]\( 7 \)[/tex], por lo que:
[tex]\[ GR(x) = 7 \][/tex]
### Paso 2: Determinar GR(y)
GR(y) es el mayor exponente de [tex]\( y \)[/tex] en cada término del polinomio.
- Para el término [tex]\( 6x^7y^3 \)[/tex], el exponente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( 3 \)[/tex].
- Para el término [tex]\( -8x^5y^9 \)[/tex], el exponente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( 9 \)[/tex].
- Para el término [tex]\( 3xy^{11} \)[/tex], el exponente de [tex]\( y \)[/tex] es [tex]\( 11 \)[/tex].
El mayor exponente de [tex]\( y \)[/tex] entre estos términos es [tex]\( 11 \)[/tex], por lo que:
[tex]\[ GR(y) = 11 \][/tex]
### Paso 3: Determinar GA
GA es el coeficiente del término con el mayor grado total (la suma de los exponentes de [tex]\( x \)[/tex] e [tex]\( y \)[/tex]).
- Para el término [tex]\( 6x^7y^3 \)[/tex], el grado total es [tex]\( 7 + 3 = 10 \)[/tex].
- Para el término [tex]\( -8x^5y^9 \)[/tex], el grado total es [tex]\( 5 + 9 = 14 \)[/tex].
- Para el término [tex]\( 3xy^{11} \)[/tex], el grado total es [tex]\( 1 + 11 = 12 \)[/tex].
El mayor grado total es [tex]\( 14 \)[/tex], correspondiente al término [tex]\( -8x^5y^9 \)[/tex]. El coeficiente de este término es [tex]\( -8 \)[/tex], por lo que:
[tex]\[ GA = -8 \][/tex]
### Paso 4: Calcular la expresión [tex]\( GR(x) - GR(y) + GA \)[/tex]
Sustituimos los valores encontrados:
[tex]\[ GR(x) - GR(y) + GA = 7 - 11 + (-8) \][/tex]
Realizamos la operación:
[tex]\[ 7 - 11 - 8 = 7 - 19 = -12 \][/tex]
Entonces, el resultado de la expresión es:
[tex]\[ \boxed{-12} \][/tex]
Al revisar las opciones proporcionadas (14, 9, 16, 10), observamos que ninguna se corresponde con la respuesta correcta. Por ello, si ha habido un error en las opciones o necesita confirmación adicional, lo mejor será revisar el contexto o fuente del problema.
