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Hallar la variación que experimenta la longitud de una barra de cobre que mide [tex]$15 \, \text{m}$[/tex] a [tex]18{ }^{\circ} C[/tex] al calentarla hasta [tex]50^{\circ} C[/tex].

Dado: [tex] \alpha = 17 \times 10^{-6} \, \text{°C}^{-1} [/tex]

Fórmula: [tex] \Delta L = L_0 \left(1 + \alpha \left(T_2 - T_1\right)\right) - L_0 [/tex]



Answer :

GinnyAnswer
¡Claro! Vamos a resolver el problema paso a paso.

Dado:
- Longitud inicial de la barra ([tex]\(L_o\)[/tex]): [tex]\(15 \text{ m}\)[/tex]
- Temperatura inicial ([tex]\(T_1\)[/tex]): [tex]\(18^\circ \text{C}\)[/tex]
- Temperatura final ([tex]\(T_2\)[/tex]): [tex]\(50^\circ \text{C}\)[/tex]
- Coeficiente de dilatación térmica ([tex]\(\alpha\)[/tex]): [tex]\(17 \times 10^{-6}\)[/tex]

Objetivo:
Encontrar la variación de longitud y la longitud final de la barra al calentarla hasta [tex]\(50^\circ \text{C}\)[/tex].

Paso 1: Calcular la variación de temperatura ([tex]\(\Delta T\)[/tex])
[tex]\[ \Delta T = T_2 - T_1 = 50^\circ \text{C} - 18^\circ \text{C} = 32^\circ \text{C} \][/tex]

Paso 2: Usar la fórmula para encontrar la longitud final ([tex]\(L_f\)[/tex])
La fórmula para la longitud final en función de la longitud inicial y la variación de temperatura es:
[tex]\[ L_f = L_o \left(1 + \alpha \Delta T \right) \][/tex]

Sustituimos los valores conocidos en la fórmula:
[tex]\[ L_f = 15 \text{ m} \left(1 + 17 \times 10^{-6} \times 32\right) \][/tex]

Paso 3: Calcular el término entre paréntesis
Primero calculamos el producto [tex]\(\alpha \Delta T\)[/tex]:
[tex]\[ \alpha \Delta T = 17 \times 10^{-6} \times 32 = 0.000544 \][/tex]

Entonces,
[tex]\[ L_f = 15 \text{ m} \left(1 + 0.000544\right) = 15 \text{ m} \cdot 1.000544 \][/tex]

Paso 4: Calcular la longitud final
[tex]\[ L_f = 15 \text{ m} \cdot 1.000544 = 15.00816 \text{ m} \][/tex]

Paso 5: Calcular la variación en la longitud
La variación en la longitud ([tex]\(\Delta L\)[/tex]) es la diferencia entre la longitud final y la longitud inicial:
[tex]\[ \Delta L = L_f - L_o = 15.00816 \text{ m} - 15 \text{ m} = 0.00816 \text{ m} \][/tex]

Conclusión:
1. La variación en la longitud de la barra al calentarla desde [tex]\(18^\circ \text{C}\)[/tex] hasta [tex]\(50^\circ \text{C}\)[/tex] es [tex]\(0.00816 \text{ m}\)[/tex].
2. La longitud final de la barra es [tex]\(15.00816 \text{ m}\)[/tex].