Answer :
### Exercice 1: Compléter le tableau
Pour compléter le tableau, il faut calculer les fréquences relatives de chaque état matrimonial. La fréquence relative est obtenue en divisant l'effectif ni de chaque catégorie par l'effectif total.
1. Effectif total (N) : [tex]\(30 + 40 + 10 + 20 = 100\)[/tex]
2. Fréquences relatives :
- Pour Célibataire : [tex]\( \frac{30}{100} = 0.30 \)[/tex]
- Pour Marié : [tex]\( \frac{40}{100} = 0.40 \)[/tex]
- Pour Divorce : [tex]\( \frac{10}{100} = 0.10 \)[/tex] (Correcting the typo in your table, which should be 0.10 instead of 1.10)
- Pour Veuf : [tex]\( \frac{20}{100} = 0.20 \)[/tex]
Le tableau complété est donc :
[tex]\[ \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline État matrimonial & Effectif ni & Fréquences \\ \hline Célibataire & 30 & 0.30 \\ Marié & 40 & 0.40 \\ Divorce & 10 & 0.10 \\ Veuf & 20 & 0.20 \\ \hline Total & 100 & 1.00 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]
### Exercice 2: Tendances centrales de la distribution des loyers
#### A) La population
La population étudiée est simplement le nombre total des effectifs.
[tex]\[ Population = 30 + 43 + 70 + 35 + 20 + 10 = 208 \][/tex]
#### B) L'unité statistique
L'unité statistique est l'élément ou l'individu sur lequel porte l'enquête statistique. Ici, chaque unité statistique est un appartement avec son loyer annuel.
#### C) La nature du caractère
Le caractère étudié ici est le montant du loyer des appartements, qui est quantitatif et continu, car il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné.
#### D) Le mode
Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment dans la distribution.
Les effectifs par intervalle de loyer sont :
[tex]\[ 30, 43, 70, 35, 20, 10 \][/tex]
L'intervalle avec le plus grand effectif est [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex] avec 70 effectifs. Donc, le mode est l'intervalle [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex].
#### E) La médian
Pour trouver la médiane, nous devons déterminer l'intervalle dans lequel se situe le 104ème élément (car 208 / 2 = 104).
1. Effectif cumulé :
- [tex]\([400 ; 600[ : 30 \)[/tex]
- [tex]\([600 ; 800[ : 30 + 43 = 73 - \([800 ; 1000[ : 73 + 70 = 143 - \([1000 ; 1200[ : 143 + 35 = 178 - \([1200 ; 1400[ : 178 + 20 = 198 - \([1400 ; 1600[ : 198 + 10 = 208 Le 104ème élément se trouve dans l'intervalle \([800 ; 1000[\)[/tex] car 143 >= 104.
Donc, la médiane se situe dans l'intervalle [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex].
#### F) La moyenne
Pour calculer la moyenne des loyers, nous devons estimer la valeur moyenne dans chaque intervalle (souvent le point médian) et utiliser les effectifs comme poids :
1. Points médians pour chaque intervalle :
- [tex]\([400 ; 600[ \rightarrow 500 - \([600 ; 800[ \rightarrow 700 - \([800 ; 1000[ \rightarrow 900 - \([1000 ; 1200[ \rightarrow 1100 - \([1200 ; 1400[ \rightarrow 1300 - \([1400 ; 1600[ \rightarrow 1500 2. Moyenne pondérée : \[ \bar{x} = \frac{\sum (midpoint \times effectif)}{\sum effectifs} \] \[ \bar{x} = \frac{(500 \times 30) + (700 \times 43) + (900 \times 70) + (1100 \times 35) + (1300 \times 20) + (1500 \times 10)}{208} \] \[ \bar{x} = \frac{15000 + 30100 + 63000 + 38500 + 26000 + 15000}{208} \] \[ \bar{x} = \frac{187600}{208} \approx 902.88 \] #### G) Tracez l'histogramme de cette dispersion Pour tracer un histogramme, chaque intervalle de montant du loyer sera représenté sur l'axe des abscisses (x), et les effectifs correspondants sur l'axe des ordonnées (y). 1. Intervalle \([400 ; 600[ \)[/tex]: 30
2. Intervalle [tex]\([600 ; 800[ \)[/tex]: 43
3. Intervalle [tex]\([800 ; 1000[ \)[/tex]: 70
4. Intervalle [tex]\([1000 ; 1200[ \)[/tex]: 35
5. Intervalle [tex]\([1200 ; 1400[ \)[/tex]: 20
6. Intervalle [tex]\([1400 ; 1600[ \)[/tex]: 10
Vous pouvez utiliser un outil de traçage comme Excel, geogebra, ou un logiciel de traçage pour dessiner l'histogramme avec ces valeurs.
En résumé, voici vos résultats pour l'Exercice 2 :
- A) Population : 208
- B) Unité statistique : Loyer annuel d'un appartement
- C) Nature du caractère : Quantitatif continu
- D) Mode : [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex]
- E) Médian : [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex]
- F) Moyenne : [tex]\(\approx 902.88\)[/tex]
Pour l'histogramme, référez-vous aux données ci-dessus.
Pour compléter le tableau, il faut calculer les fréquences relatives de chaque état matrimonial. La fréquence relative est obtenue en divisant l'effectif ni de chaque catégorie par l'effectif total.
1. Effectif total (N) : [tex]\(30 + 40 + 10 + 20 = 100\)[/tex]
2. Fréquences relatives :
- Pour Célibataire : [tex]\( \frac{30}{100} = 0.30 \)[/tex]
- Pour Marié : [tex]\( \frac{40}{100} = 0.40 \)[/tex]
- Pour Divorce : [tex]\( \frac{10}{100} = 0.10 \)[/tex] (Correcting the typo in your table, which should be 0.10 instead of 1.10)
- Pour Veuf : [tex]\( \frac{20}{100} = 0.20 \)[/tex]
Le tableau complété est donc :
[tex]\[ \begin{tabular}{|l|c|c|} \hline État matrimonial & Effectif ni & Fréquences \\ \hline Célibataire & 30 & 0.30 \\ Marié & 40 & 0.40 \\ Divorce & 10 & 0.10 \\ Veuf & 20 & 0.20 \\ \hline Total & 100 & 1.00 \\ \hline \end{tabular} \][/tex]
### Exercice 2: Tendances centrales de la distribution des loyers
#### A) La population
La population étudiée est simplement le nombre total des effectifs.
[tex]\[ Population = 30 + 43 + 70 + 35 + 20 + 10 = 208 \][/tex]
#### B) L'unité statistique
L'unité statistique est l'élément ou l'individu sur lequel porte l'enquête statistique. Ici, chaque unité statistique est un appartement avec son loyer annuel.
#### C) La nature du caractère
Le caractère étudié ici est le montant du loyer des appartements, qui est quantitatif et continu, car il peut prendre toutes les valeurs dans un intervalle donné.
#### D) Le mode
Le mode est la valeur qui apparaît le plus fréquemment dans la distribution.
Les effectifs par intervalle de loyer sont :
[tex]\[ 30, 43, 70, 35, 20, 10 \][/tex]
L'intervalle avec le plus grand effectif est [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex] avec 70 effectifs. Donc, le mode est l'intervalle [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex].
#### E) La médian
Pour trouver la médiane, nous devons déterminer l'intervalle dans lequel se situe le 104ème élément (car 208 / 2 = 104).
1. Effectif cumulé :
- [tex]\([400 ; 600[ : 30 \)[/tex]
- [tex]\([600 ; 800[ : 30 + 43 = 73 - \([800 ; 1000[ : 73 + 70 = 143 - \([1000 ; 1200[ : 143 + 35 = 178 - \([1200 ; 1400[ : 178 + 20 = 198 - \([1400 ; 1600[ : 198 + 10 = 208 Le 104ème élément se trouve dans l'intervalle \([800 ; 1000[\)[/tex] car 143 >= 104.
Donc, la médiane se situe dans l'intervalle [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex].
#### F) La moyenne
Pour calculer la moyenne des loyers, nous devons estimer la valeur moyenne dans chaque intervalle (souvent le point médian) et utiliser les effectifs comme poids :
1. Points médians pour chaque intervalle :
- [tex]\([400 ; 600[ \rightarrow 500 - \([600 ; 800[ \rightarrow 700 - \([800 ; 1000[ \rightarrow 900 - \([1000 ; 1200[ \rightarrow 1100 - \([1200 ; 1400[ \rightarrow 1300 - \([1400 ; 1600[ \rightarrow 1500 2. Moyenne pondérée : \[ \bar{x} = \frac{\sum (midpoint \times effectif)}{\sum effectifs} \] \[ \bar{x} = \frac{(500 \times 30) + (700 \times 43) + (900 \times 70) + (1100 \times 35) + (1300 \times 20) + (1500 \times 10)}{208} \] \[ \bar{x} = \frac{15000 + 30100 + 63000 + 38500 + 26000 + 15000}{208} \] \[ \bar{x} = \frac{187600}{208} \approx 902.88 \] #### G) Tracez l'histogramme de cette dispersion Pour tracer un histogramme, chaque intervalle de montant du loyer sera représenté sur l'axe des abscisses (x), et les effectifs correspondants sur l'axe des ordonnées (y). 1. Intervalle \([400 ; 600[ \)[/tex]: 30
2. Intervalle [tex]\([600 ; 800[ \)[/tex]: 43
3. Intervalle [tex]\([800 ; 1000[ \)[/tex]: 70
4. Intervalle [tex]\([1000 ; 1200[ \)[/tex]: 35
5. Intervalle [tex]\([1200 ; 1400[ \)[/tex]: 20
6. Intervalle [tex]\([1400 ; 1600[ \)[/tex]: 10
Vous pouvez utiliser un outil de traçage comme Excel, geogebra, ou un logiciel de traçage pour dessiner l'histogramme avec ces valeurs.
En résumé, voici vos résultats pour l'Exercice 2 :
- A) Population : 208
- B) Unité statistique : Loyer annuel d'un appartement
- C) Nature du caractère : Quantitatif continu
- D) Mode : [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex]
- E) Médian : [tex]\([800 ; 1000[\)[/tex]
- F) Moyenne : [tex]\(\approx 902.88\)[/tex]
Pour l'histogramme, référez-vous aux données ci-dessus.
