Para resolver el problema, primero necesitamos definir la función cuadrática [tex]\( f(x) = ax^2 + bx + c \)[/tex] usando los puntos dados: [tex]\( f(1) = 2 \)[/tex], [tex]\( f(2) = 3 \)[/tex], y [tex]\( f(3) = 1 \)[/tex]. Esto nos da un sistema de ecuaciones que debemos resolver para encontrar los valores de [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] y [tex]\( c \)[/tex].
1. Usando [tex]\( f(1) = 2 \)[/tex]:
[tex]\[
a(1)^2 + b(1) + c = 2 \implies a + b + c = 2 \quad \text{(Ecuación 1)}
\][/tex]
2. Usando [tex]\( f(2) = 3 \)[/tex]:
[tex]\[
a(2)^2 + b(2) + c = 3 \implies 4a + 2b + c = 3 \quad \text{(Ecuación 2)}
\][/tex]
3. Usando [tex]\( f(3) = 1 \)[/tex]:
[tex]\[
a(3)^2 + b(3) + c = 1 \implies 9a + 3b + c = 1 \quad \text{(Ecuación 3)}
\][/tex]
Tenemos el siguiente sistema de ecuaciones lineales:
[tex]\[
\begin{cases}
a + b + c = 2 \\
4a + 2b + c = 3 \\
9a + 3b + c = 1
\end{cases}
\][/tex]
Para encontrar los valores de [tex]\( a \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] y [tex]\( c \)[/tex], podemos resolver el sistema de ecuaciones. Al resolver este sistema, obtenemos:
[tex]\[
a = -\frac{3}{2}, \quad b = \frac{11}{2}, \quad c = -2
\][/tex]
Ahora que tenemos el valor de [tex]\( c \)[/tex], nos piden calcular [tex]\( c^2 \)[/tex]:
[tex]\[
c = -2 \implies c^2 = (-2)^2 = 4
\][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( c^2 \)[/tex] es 4.
