Claro, vamos a resolver este problema paso a paso utilizando la ecuación de Bernoulli. Los datos proporcionados son:
- Velocidad inicial del agua en la planta baja ([tex]\(v_1\)[/tex]): 4 m/s
- Presión manométrica inicial ([tex]\(P_1\)[/tex]): 34 kPa
- Altura inicial ([tex]\(h_1\)[/tex]): 0 m
- Altura final ([tex]\(h_2\)[/tex]): 3 m
- Presión manométrica final ([tex]\(P_2\)[/tex]): 20 kPa
También se sabe que:
- La densidad del agua ([tex]\(\rho\)[/tex]) es aproximadamente 1000 kg/m³
- La aceleración debida a la gravedad ([tex]\(g\)[/tex]) es 9.81 m/s²
Primero, convertimos las presiones de kPa a Pa:
[tex]\[ P_1 = 34 \ \text{kPa} = 34,000 \ \text{Pa} \][/tex]
[tex]\[ P_2 = 20 \ \text{kPa} = 20,000 \ \text{Pa} \][/tex]
La ecuación de Bernoulli para dos puntos en un fluido en movimiento es:
[tex]\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho v_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho v_2^2 + \rho g h_2 \][/tex]
Queremos encontrar la velocidad final del agua ([tex]\(v_2\)[/tex]) en la tubería a 3 metros de altura:
1. Reorganizamos la ecuación de Bernoulli para resolver [tex]\(v_2\)[/tex]:
[tex]\[ v_2 = \sqrt{\left( \frac{2 (P_1 - P_2)}{\rho} + v_1^2 + 2 g (h_1 - h_2) \right)} \][/tex]
2. Sustituimos los valores conocidos:
- [tex]\(P_1 = 34,000 \ \text{Pa}\)[/tex]
- [tex]\(P_2 = 20,000 \ \text{Pa}\)[/tex]
- [tex]\(\rho = 1000 \ \text{kg/m}^3\)[/tex]
- [tex]\(v_1 = 4 \ \text{m/s}\)[/tex]
- [tex]\(h_1 = 0 \ \text{m}\)[/tex]
- [tex]\(h_2 = 3 \ \text{m}\)[/tex]
- [tex]\(g = 9.81 \ \text{m/s}^2\)[/tex]
[tex]\[ v_2 = \sqrt{\left( \frac{2 (34,000 - 20,000)}{1000} + 4^2 + 2 \cdot 9.81 \cdot (0 - 3) \right)} \][/tex]
3. Calculamos primero los términos dentro de la raíz:
[tex]\[ \frac{2 (34,000 - 20,000)}{1000} = \frac{28,000}{1000} = 28 \][/tex]
[tex]\[ 4^2 = 16 \][/tex]
[tex]\[ 2 \cdot 9.81 \cdot (0 - 3) = -58.86 \][/tex]
Así que:
[tex]\[ v_2 = \sqrt{28 + 16 - 58.86} \][/tex]
4. Sumamos los términos dentro de la raíz:
[tex]\[ 28 + 16 - 58.86 = -14.86 \][/tex]
5. La raíz cuadrada de un número negativo nos lleva a un número complejo. De este modo:
[tex]\[ v_2 = (2.3604252990909924e-16 + 3.8548670534792766j) \ \text{m/s} \][/tex]
Por lo tanto, la velocidad del agua en la tubería a 3 metros más arriba, teniendo en cuenta las condiciones dadas y los cálculos anteriores, resulta ser un número complejo con una componente imaginaria debida a los valores específicos de presión y altura.
