Claro, vamos a resolver este problema paso a paso utilizando la ecuación de Bernoulli para fluidos incompresibles.
Datos dados:
- Velocidad inicial, [tex]\( V_1 = 4 \, \text{m/s} \)[/tex]
- Presión inicial, [tex]\( P_1 = 34 \, \text{kPa} \)[/tex]
- Diferencia de altura, [tex]\( h = 3 \, \text{m} \)[/tex]
- Presión final, [tex]\( P_2 = 20 \, \text{kPa} \)[/tex]
- Densidad del agua, [tex]\( \rho = 1000 \, \text{kg/m}^3 \)[/tex] (densidad aproximada del agua)
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)[/tex]
Primero, convertimos las presiones de [tex]\( kPa \)[/tex] a [tex]\( Pa \)[/tex] (1 [tex]\( kPa = 1000 \, Pa \)[/tex]):
[tex]\[ P_1 = 34 \, \text{kPa} = 34000 \, \text{Pa} \][/tex]
[tex]\[ P_2 = 20 \, \text{kPa} = 20000 \, \text{Pa} \][/tex]
Ahora, usamos la ecuación de Bernoulli:
[tex]\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 + \rho g h_1 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 + \rho g h_2 \][/tex]
Dado que el [tex]\( h_1 = 0 \)[/tex] (punto de referencia en la planta baja), y la diferencia de altura es [tex]\( h_2 = 3 \, \text{m} \)[/tex]:
[tex]\[ P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 = P_2 + \frac{1}{2} \rho V_2^2 + \rho g h \][/tex]
Reordenamos la ecuación para resolver [tex]\( V_2 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{1}{2} \rho V_2^2 = P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 - P_2 - \rho g h \][/tex]
[tex]\[ V_2^2 = \frac{2}{\rho} \left( P_1 + \frac{1}{2} \rho V_1^2 - P_2 - \rho g h \right) \][/tex]
Sustituimos los valores conocidos:
[tex]\[ V_2^2 = \frac{2}{1000} \left( 34000 + \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot (4^2) - 20000 - 1000 \cdot 9.81 \cdot 3 \right) \][/tex]
Primero calculamos los términos individuales:
[tex]\[ \frac{1}{2} \cdot 1000 \cdot 16 = 8000 \][/tex]
[tex]\[ 1000 \cdot 9.81 \cdot 3 = 29430 \][/tex]
[tex]\[ 34000 + 8000 - 20000 - 29430 = 2580 \][/tex]
Entonces,
[tex]\[ V_2^2 = \frac{2}{1000} \cdot 2580 = 5.16 \][/tex]
Finalmente, tomamos la raíz cuadrada para encontrar [tex]\( V_2 \)[/tex]:
[tex]\[ V_2 = \sqrt{5.16} \approx 2.27 \, \text{m/s} \][/tex]
Entonces, la velocidad del agua en la tubería 3 metros más arriba es aproximadamente [tex]\( 2.27 \, \text{m/s} \)[/tex].
