4) Dada la función [tex]$y=\sqrt{25-x^2}$[/tex] y la gráfica, trazar la recta tangente a la función en el par ordenado [tex]$(3,4)$[/tex]. Justificar de forma analítica. (5 puntos)



Answer :

Claro, vamos a resolver el problema paso a paso de forma analítica:

1. Identificar la función y su punto de tangencia:
La función dada es [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} \)[/tex].
El punto en el que queremos encontrar la tangente es [tex]\( (3, 4) \)[/tex].

2. Encontrar la derivada de la función:
Para hallar la recta tangente, primero necesitamos encontrar la derivada de la función.
Sea [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} \)[/tex].
La derivada [tex]\( y' \)[/tex] se puede encontrar utilizando la regla de la cadena.

[tex]\[ y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{25 - x^2} \right) \][/tex]

Aplicamos la regla cadena:

[tex]\[ y' = \frac{1}{2\sqrt{25 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}} \][/tex]

Por lo tanto, la derivada de la función es [tex]\( y' = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}} \)[/tex].

3. Evaluar la derivada en el punto de tangencia:
Evaluamos la derivada en [tex]\( x = 3 \)[/tex] para encontrar la pendiente de la tangente.

[tex]\[ y'(3) = \frac{-3}{\sqrt{25 - 3^2}} = \frac{-3}{\sqrt{25 - 9}} = \frac{-3}{\sqrt{16}} = \frac{-3}{4} \][/tex]

Así, la pendiente de la tangente en el punto [tex]\( (3, 4) \)[/tex] es [tex]\( m = \frac{-3}{4} \)[/tex].

4. Determinar la ecuación de la recta tangente:
Utilizamos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:

[tex]\[ y - y_0 = m(x - x_0) \][/tex]

Donde [tex]\((x_0, y_0) = (3, 4)\)[/tex] y [tex]\( m = \frac{-3}{4} \)[/tex].

Sustituyendo los valores:

[tex]\[ y - 4 = \frac{-3}{4}(x - 3) \][/tex]

Resolviendo para [tex]\( y \)[/tex]:

[tex]\[ y - 4 = \frac{-3}{4}x + \frac{9}{4} \][/tex]

[tex]\[ y = \frac{-3}{4}x + \frac{9}{4} + 4 \][/tex]

[tex]\[ y = \frac{-3}{4}x + \frac{9}{4} + \frac{16}{4} \][/tex]

[tex]\[ y = \frac{-3}{4}x + \frac{25}{4} \][/tex]

Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto [tex]\( (3, 4) \)[/tex] es:

[tex]\[ y = \frac{25}{4} - \frac{3}{4}x \][/tex]

5. Justificación final:

a. Calculamos la derivada de la función [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} \)[/tex], obteniendo [tex]\( y' = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}} \)[/tex].

b. Evaluamos esta derivada en [tex]\( x = 3 \)[/tex], obteniendo la pendiente [tex]\( \frac{-3}{4} \)[/tex].

c. Usamos la pendiente y el punto dado [tex]\( (3, 4) \)[/tex] para encontrar la ecuación de la tangente, resultando en [tex]\( y = \frac{25}{4} - \frac{3}{4}x \)[/tex].

Así, hemos trazado y justificado analíticamente la recta tangente a la función [tex]\( y=\sqrt{25-x^2} \)[/tex] en el punto [tex]\( (3, 4) \)[/tex].