Claro, vamos a resolver el problema paso a paso de forma analítica:
1. Identificar la función y su punto de tangencia:
La función dada es [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} \)[/tex].
El punto en el que queremos encontrar la tangente es [tex]\( (3, 4) \)[/tex].
2. Encontrar la derivada de la función:
Para hallar la recta tangente, primero necesitamos encontrar la derivada de la función.
Sea [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} \)[/tex].
La derivada [tex]\( y' \)[/tex] se puede encontrar utilizando la regla de la cadena.
[tex]\[
y' = \frac{d}{dx} \left( \sqrt{25 - x^2} \right)
\][/tex]
Aplicamos la regla cadena:
[tex]\[
y' = \frac{1}{2\sqrt{25 - x^2}} \cdot (-2x) = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}}
\][/tex]
Por lo tanto, la derivada de la función es [tex]\( y' = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}} \)[/tex].
3. Evaluar la derivada en el punto de tangencia:
Evaluamos la derivada en [tex]\( x = 3 \)[/tex] para encontrar la pendiente de la tangente.
[tex]\[
y'(3) = \frac{-3}{\sqrt{25 - 3^2}} = \frac{-3}{\sqrt{25 - 9}} = \frac{-3}{\sqrt{16}} = \frac{-3}{4}
\][/tex]
Así, la pendiente de la tangente en el punto [tex]\( (3, 4) \)[/tex] es [tex]\( m = \frac{-3}{4} \)[/tex].
4. Determinar la ecuación de la recta tangente:
Utilizamos la ecuación de la recta en forma punto-pendiente:
[tex]\[
y - y_0 = m(x - x_0)
\][/tex]
Donde [tex]\((x_0, y_0) = (3, 4)\)[/tex] y [tex]\( m = \frac{-3}{4} \)[/tex].
Sustituyendo los valores:
[tex]\[
y - 4 = \frac{-3}{4}(x - 3)
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
y - 4 = \frac{-3}{4}x + \frac{9}{4}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{-3}{4}x + \frac{9}{4} + 4
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{-3}{4}x + \frac{9}{4} + \frac{16}{4}
\][/tex]
[tex]\[
y = \frac{-3}{4}x + \frac{25}{4}
\][/tex]
Por lo tanto, la ecuación de la recta tangente en el punto [tex]\( (3, 4) \)[/tex] es:
[tex]\[
y = \frac{25}{4} - \frac{3}{4}x
\][/tex]
5. Justificación final:
a. Calculamos la derivada de la función [tex]\( y = \sqrt{25 - x^2} \)[/tex], obteniendo [tex]\( y' = \frac{-x}{\sqrt{25 - x^2}} \)[/tex].
b. Evaluamos esta derivada en [tex]\( x = 3 \)[/tex], obteniendo la pendiente [tex]\( \frac{-3}{4} \)[/tex].
c. Usamos la pendiente y el punto dado [tex]\( (3, 4) \)[/tex] para encontrar la ecuación de la tangente, resultando en [tex]\( y = \frac{25}{4} - \frac{3}{4}x \)[/tex].
Así, hemos trazado y justificado analíticamente la recta tangente a la función [tex]\( y=\sqrt{25-x^2} \)[/tex] en el punto [tex]\( (3, 4) \)[/tex].
