Para reducir los siguientes radicales a un índice común, debemos encontrar un múltiplo común de los índices de los radicales y convertir cada radical para que tenga ese mismo índice.
Vamos a resolver cada parte por separado y de manera detallada.
### Parte (a):
1. [tex]\(\sqrt[6]{15 a^3 x^2}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt{2 a} = \sqrt[2]{2 a}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[3]{3 a^2 b}\)[/tex]
El índice común que usamos es el mínimo común múltiplo de [tex]\(6\)[/tex], [tex]\(2\)[/tex], y [tex]\(3\)[/tex]. En este caso, es [tex]\(6\)[/tex].
1. [tex]\(\sqrt[6]{15 a^3 x^2} = (15 a^3 x^2)^{\frac{1}{6}}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[2]{2 a} = \sqrt[2]{2 a} = (2 a)^{\frac{1}{2}} = (2 a)^{\frac{3}{6}}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[3]{3 a^2 b} = (3 a^2 b)^{\frac{1}{3}} = (3 a^2 b)^{\frac{2}{6}}\)[/tex]
### Parte (b):
1. [tex]\(\sqrt[4]{5}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt{2} = \sqrt[2]{2}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[3]{3}\)[/tex]
4. [tex]\(\sqrt[6]{7}\)[/tex]
El índice común es el mínimo común múltiplo de [tex]\(4\)[/tex], [tex]\(2\)[/tex], [tex]\(3\)[/tex], y [tex]\(6\)[/tex]. En este caso, es [tex]\(12\)[/tex].
1. [tex]\(\sqrt[4]{5} = 5^{\frac{1}{4}} = 5^{\frac{3}{12}}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[2]{2} = (2)^{\frac{1}{2}} = 2^{\frac{6}{12}}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}} = 3^{\frac{4}{12}}\)[/tex]
4. [tex]\(\sqrt[6]{7} = 7^{\frac{1}{6}} = 7^{\frac{2}{12}}\)[/tex]
### Parte (c):
1. [tex]\(\sqrt[6]{7 a^3 b}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt{5 x} = \sqrt[2]{5 x}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[3]{4 x^2 y}\)[/tex]
El índice común es el mínimo común múltiplo de [tex]\(6\)[/tex], [tex]\(2\)[/tex], y [tex]\(3\)[/tex]. En este caso, es [tex]\(6\)[/tex].
1. [tex]\(\sqrt[6]{7 a^3 b} = (7 a^3 b)^{\frac{1}{6}}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[2]{5 x} = (5 x)^{\frac{1}{2}} = (5 x)^{\frac{3}{6}}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[3]{4 x^2 y} = (4 x^2 y)^{\frac{1}{3}} = (4 x^2 y)^{\frac{2}{6}}\)[/tex]
### Parte (d):
1. [tex]\(\sqrt[4]{8 a^2 x^3}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[6]{3 a^5 b^4}\)[/tex]
El índice común es el mínimo común múltiplo de [tex]\(4\)[/tex] y [tex]\(6\)[/tex]. En este caso, es [tex]\(12\)[/tex].
1. [tex]\(\sqrt[4]{8 a^2 x^3} = (8 a^2 x^3)^{\frac{1}{4}} = (8 a^2 x^3)^{\frac{3}{12}}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[6]{3 a^5 b^4} = (3 a^5 b^4)^{\frac{1}{6}} = (3 a^5 b^4)^{\frac{2}{12}}\)[/tex]
### Parte (e):
1. [tex]\(\sqrt[5]{3 a^2 x}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[3]{2 a b}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[16]{5 a^3 x^2}\)[/tex]
El índice común es el mínimo común múltiplo de [tex]\(5\)[/tex], [tex]\(3\)[/tex], y [tex]\(16\)[/tex]. En este caso, es [tex]\(240\)[/tex].
1. [tex]\(\sqrt[5]{3 a^2 x} = (3 a^2 x)^{\frac{1}{5}} = (3 a^2 x)^{\frac{48}{240}}\)[/tex]
2. [tex]\(\sqrt[3]{2 a b} = (2 a b)^{\frac{1}{3}} = (2 a b)^{\frac{80}{240}}\)[/tex]
3. [tex]\(\sqrt[16]{5 a^3 x^2} = (5 a^3 x^2)^{\frac{1}{16}} = (5 a^3 x^2)^{\frac{15}{240}}\)[/tex]
Espero que esas explicaciones detalladas te hayan ayudado a entender cómo convertir radicales a un índice común. Si tienes alguna pregunta adicional, ¡no dudes en preguntar!
