Claro, vamos a resolver cada uno de los incisos de manera detallada:
### Inciso a
Nos piden comparar las siguientes dos expresiones:
1. [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)[/tex]
2. [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex]
Primero, recordemos la relación de exponente fraccionario. En términos generales, un exponente fraccionario [tex]\(\left(a\right)^{\frac{1}{n}}\)[/tex] representa la raíz n-ésima de a. Aquí tenemos que comparar dos raíces:
- La primera expresión, [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)[/tex], representa la raíz cuadrada de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
- La segunda expresión, [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex], representa la raíz cúbica de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
Comparando numéricamente estas cantidades, encontramos que:
- [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} \approx 0.7071067811865476\)[/tex]
- [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}} \approx 0.7937005259840998\)[/tex]
Observamos que:
[tex]\[0.7071067811865476 < 0.7937005259840998\][/tex]
Por lo tanto, la raíz cúbica de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex] es mayor a la raíz cuadrada de [tex]\(\frac{1}{2}\)[/tex].
### Inciso b
Nos piden comparar las siguientes dos expresiones:
1. [tex]\(2^{\frac{1}{2}}\)[/tex]
2. [tex]\(2^{\frac{1}{3}}\)[/tex]
En este caso, tenemos que comparar las siguientes raíces:
- La primera expresión, [tex]\(2^{\frac{1}{2}}\)[/tex], representa la raíz cuadrada de 2.
- La segunda expresión, [tex]\(2^{\frac{1}{3}}\)[/tex], representa la raíz cúbica de 2.
Comparando numéricamente estas cantidades, encontramos que:
- [tex]\(2^{\frac{1}{2}} \approx 1.4142135623730951\)[/tex]
- [tex]\(2^{\frac{1}{3}} \approx 1.2599210498948732\)[/tex]
Observamos que:
[tex]\[1.4142135623730951 > 1.2599210498948732\][/tex]
Por lo tanto, la raíz cuadrada de 2 es mayor a la raíz cúbica de 2.
### Conclusión Final
- En el inciso a, [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{3}}\)[/tex] es mayor que [tex]\(\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}}\)[/tex].
- En el inciso b, [tex]\(2^{\frac{1}{2}}\)[/tex] es mayor que [tex]\(2^{\frac{1}{3}}\)[/tex].
