Para determinar el conjunto solución de la desigualdad
[tex]\[
\frac{|x+5| - |x|}{|3x+5| + |5x-3|} \leq 0,
\][/tex]
vamos a proceder con un análisis paso a paso de la expresión.
1. Consideremos la expresión del numerador: [tex]\(\mathbf{|x + 5| - |x|}\)[/tex].
- El valor absoluto depende del signo del argumento dentro de él.
- Para [tex]\(x \geq 0\)[/tex]:
[tex]\[
|x| = x \quad \text{y} \quad |x+5| = x+5
\][/tex]
La diferencia sería:
[tex]\[
|x+5| - |x| = (x+5) - x = 5
\][/tex]
- Para [tex]\(x < 0\)[/tex], tenemos que considerar dos casos:
- Si [tex]\(x \geq -5\)[/tex]:
[tex]\[
|x| = -x \quad \text{y} \quad |x+5| = x+5
\][/tex]
La diferencia sería:
[tex]\[
|x + 5| - |x| = (x + 5) - (-x) = 2x + 5
\][/tex]
- Si [tex]\(x < -5\)[/tex]:
[tex]\[
|x| = -x \quad \text{y} \quad |x+5| = -(x+5) = -x - 5
\][/tex]
La diferencia sería:
[tex]\[
|x+5| - |x| = (-x-5) - (-x) = -5
\][/tex]
2. Consideremos la expresión del denominador: [tex]\(\mathbf{|3x + 5| + |5x - 3|}\)[/tex].
- Para valores que simplifiquen la expresión y aclaren diferentes regiones, también analizaríamos según rangos,
pero lo crucial aquí es notar que el denominador es siempre positivo ya que suma valores absolutos.
Ahora bien, analicemos la fracción en distintos intervalos de [tex]\(x\)[/tex] para determinar cuándo es menor o igual que cero.
3. Análisis de los intervalos:
- Para [tex]\( x < -5 \)[/tex]:
El numerador es [tex]\(-5\)[/tex].
El denominador es siempre positivo.
Como [tex]\(\frac{-5}{\text{algo positivo}} \leq 0\)[/tex], la desigualdad es cierta para este intervalo.
- Para [tex]\(-5 \leq x < 0\)[/tex]:
El numerador en este caso es [tex]\(2x + 5\)[/tex] que es positivo cuando [tex]\(-5 < x < -2.5\)[/tex] (de hecho, se vuelve cero cuando [tex]\(x = -2.5\)[/tex]).
Entonces, debemos considerar la desigualdad [tex]\(2x + 5 \leq 0\)[/tex] que se simplifica a [tex]\(x \leq -2.5\)[/tex].
4. Conclusión:
Uniendo ambos intervalos donde la desigualdad se cumple, obtenemos el conjunto solución:
[tex]\[
x < -2.5
\][/tex]
es decir,
[tex]\[
(-\infty, -2.5)
\][/tex]
Por lo tanto, el conjunto solución de la desigualdad es:
[tex]\[
(-\infty, -2.5).
\][/tex]
