Claro, resolvamos el problema paso a paso.
Dada una progresión aritmética que comienza en 2 y termina en 3, con una diferencia común de [tex]\(\frac{1}{10}\)[/tex], necesitamos determinar cuántos términos hay en esta progresión.
La fórmula para el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo de una progresión aritmética es:
[tex]\[ a_n = a_1 + (n - 1)d \][/tex]
donde:
- [tex]\(a_n\)[/tex] es el término [tex]\(n\)[/tex]-ésimo (en este caso, el término final 3),
- [tex]\(a_1\)[/tex] es el primer término (en este caso, 2),
- [tex]\(n\)[/tex] es el número de términos que queremos encontrar,
- [tex]\(d\)[/tex] es la diferencia común (en este caso, [tex]\(\frac{1}{10}\)[/tex]).
Sustituyendo los valores dados en la fórmula:
[tex]\[ 3 = 2 + (n - 1) \left(\frac{1}{10}\right) \][/tex]
Para encontrar [tex]\(n\)[/tex], primero despejamos la ecuación:
1. Restamos 2 de ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ 3 - 2 = (n - 1) \left(\frac{1}{10}\right) \][/tex]
[tex]\[ 1 = (n - 1) \left(\frac{1}{10}\right) \][/tex]
2. Multiplicamos ambos lados de la ecuación por 10 para eliminar el denominador:
[tex]\[ 1 \times 10 = (n - 1) \][/tex]
[tex]\[ 10 = n - 1 \][/tex]
3. Sumamos 1 a ambos lados para resolver para [tex]\(n\)[/tex]:
[tex]\[ n = 10 + 1 \][/tex]
[tex]\[ n = 11 \][/tex]
Por lo tanto, la progresión aritmética tiene [tex]\(11\)[/tex] términos.
