RESPONDA LAS PREGUNTAS 10 A 12 DE ACUERDO A LA SIGUIENTE INFORMACIÓN:

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos de un plano, que equidistan de otro punto fijo llamado centro. Su ecuación es [tex]$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$[/tex], con [tex]$(h, k)$[/tex] como centro y [tex][tex]$r$[/tex][/tex] su radio.

10. La ecuación de la circunferencia mostrada anteriormente es:
A. [tex]$(x - 1)^2 + (y + 1)^2 = 16$[/tex]
B. [tex]$x^2 + y^2 = 4^2$[/tex]
C. [tex]$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$[/tex]
D. [tex][tex]$x^2 + y$[/tex][/tex]

11. La distancia entre los puntos B y C es:
A. 4 unidades
B. [tex]$4 \sqrt{2}$[/tex] unidades
C. 16 unidades
D. 5 unidades

12. Si se inscribe otra circunferencia con centro igual, pero de 2 cm de radio, entonces:
A. El área de la nueva circunferencia será la mitad de la anterior.
B. El perímetro de las circunferencias es igual.
C. El área de la circunferencia mayor será 4 veces la de la menor.
D. El punto (1, 2) pertenece a la circunferencia menor.



Answer :

Claro, vamos a resolver cada una de las preguntas paso a paso.

### Pregunta 10:
Se nos pide encontrar la ecuación de una circunferencia centrada en un punto dado y con un radio determinado. La fórmula general es:
[tex]$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$[/tex]

Dado que tenemos:

- Centro [tex]$(h, k) = (1, 1)$[/tex]
- Radio [tex]$r = 2$[/tex] (ya que [tex]$r^2 = 4$[/tex] en la ecuación final)
- Aplicando la fórmula general, la ecuación es:
[tex]$(x - 1)^2 + (y - 1)^2 = 4$[/tex]

Por lo tanto, la opción correcta es:
C. [tex]$(x-1)^2+(y-1)^2=4$[/tex]

### Pregunta 11:
Para encontrar la distancia entre los puntos B y C, aplicamos la fórmula de la distancia euclidiana:
[tex]$\text{Distancia} = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$[/tex]

Asumiendo que los puntos son:
- B(0, 0)
- C(4, 4)

La distancia es:
[tex]$\text{Distancia} = \sqrt{(4 - 0)^2 + (4 - 0)^2} = \sqrt{16 + 16} = \sqrt{32} = 4\sqrt{2}$[/tex]

Por lo tanto, la opción correcta es:
B. 4 [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] unidades.

### Pregunta 12:
Compararemos el área de una circunferencia con radio inicial [tex]$r$[/tex] y otra circunferencia con la mitad del radio inicial.

Sabemos que:
- Radio inicial = [tex]$r = 4$[/tex]
- Nuevo radio = [tex]$\frac{r}{2} = 2$[/tex]

El área de una circunferencia está dada por [tex]\(A = \pi r^2\)[/tex].

Calculamos las áreas:
- Área inicial = [tex]\(\pi (4^2) = 16\pi\)[/tex]
- Nueva área = [tex]\(\pi (2^2) = 4\pi\)[/tex]

Comparando ambas áreas:
- Relación de áreas = [tex]\( \frac{16\pi}{4\pi} = 4 \)[/tex]

La opción correcta es:
C. el área de la circunferencia mayor, será 4 veces que la menor.

### Resumen de respuestas:
-
Pregunta 10: C. [tex]$(x-1)^2+(y-1)^2=4$[/tex]
-
Pregunta 11: B. 4 [tex]\(\sqrt{2}\)[/tex] unidades.
-
Pregunta 12: C. el área de la circunferencia mayor, será 4 veces que la menor.