Para determinar la continuidad de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] en el punto [tex]\( x_0 = 2 \)[/tex], necesitamos verificar tres condiciones clave:
1. La función debe estar definida en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
2. Debemos encontrar el límite de [tex]\( f(x) \)[/tex] cuando [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 desde ambos lados.
3. El valor del límite debe ser igual al valor de la función en ese punto.
Primero, verifiquemos cada una de estas condiciones:
### 1. Definición en [tex]\( x = 2 \)[/tex]
La función está definida como:
[tex]\[ f(x) = \begin{cases}
\frac{x^2 - 4}{x - 2} & \text{si } x \neq 2 \\
-5 & \text{si } x = 2
\end{cases} \][/tex]
Así que [tex]\( f(2) = -5 \)[/tex].
### 2. Cálculo de los límites
[tex]\[ \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \][/tex]
Factoricemos el numerador:
[tex]\[ \frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} \][/tex]
Para [tex]\( x \neq 2 \)[/tex], podemos simplificar eliminando el término común [tex]\( x - 2 \)[/tex]:
[tex]\[ \frac{(x - 2)(x + 2)}{x - 2} = x + 2 \][/tex]
Por lo tanto, necesitamos encontrar el límite como [tex]\( x \)[/tex] se aproxima a 2 desde la izquierda ([tex]\(x \to 2^- \)[/tex]) y desde la derecha ([tex]\(x \to 2^+ \)[/tex]):
[tex]\[ \lim_{x \to 2^-} (x + 2) = 4 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{x \to 2^+} (x + 2) = 4 \][/tex]
Observamos que ambos límites laterales coinciden y son iguales a 4:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} (x + 2) = 4 \][/tex]
### 3. Comparación del límite con el valor de la función en [tex]\( x = 2 \)[/tex]
El valor de la función en [tex]\( x = 2 \)[/tex] es [tex]\( f(2) = -5 \)[/tex].
### Conclusión
Para que la función sea continua en [tex]\( x = 2 \)[/tex], el límite de [tex]\( f(x) \)[/tex] cuando [tex]\( x \to 2 \)[/tex] debe ser igual al valor de [tex]\( f(x) \)[/tex] en ese punto. Sin embargo:
[tex]\[ \lim_{x \to 2} f(x) = 4 \neq -5 = f(2) \][/tex]
Por lo tanto, el límite y el valor en el punto no coinciden, lo que implica que la función no es continua en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
La afirmación correcta es que la función [tex]\( f(x) \)[/tex] no es continua en [tex]\( x = 2 \)[/tex].
