Para determinar la continuidad de la función en el punto [tex]$x_0 = 1$[/tex], debemos verificar los siguientes criterios:
1. Evaluar el límite de la función cuando nos aproximamos a [tex]$x_0 = 1$[/tex] desde la izquierda (límite izquierdo).
2. Evaluar el límite de la función cuando nos aproximamos a [tex]$x_0 = 1$[/tex] desde la derecha (límite derecho).
3. Evaluar el valor de la función en [tex]$x_0 = 1$[/tex].
4. Comparar los límites obtenidos y el valor de la función en ese punto para determinar si son iguales.
### 1. Evaluación del límite izquierdo
Primero, consideramos la función cuando [tex]$x < 1$[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 2x^2 - 1 \][/tex]
Evaluamos el límite cuando [tex]$x$[/tex] se aproxima a 1 desde la izquierda:
[tex]\[ \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = \lim_{{x \to 1^-}} (2x^2 - 1) \][/tex]
[tex]\[ = 2(1)^2 - 1 \][/tex]
[tex]\[ = 2 - 1 \][/tex]
[tex]\[ = 1 \][/tex]
### 2. Evaluación del límite derecho
Ahora, consideramos la función cuando [tex]$x \geq 1$[/tex]:
[tex]\[ f(x) = 4x - 3 \][/tex]
Evaluamos el límite cuando [tex]$x$[/tex] se aproxima a 1 desde la derecha:
[tex]\[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = \lim_{{x \to 1^+}} (4x - 3) \][/tex]
[tex]\[ = 4(1) - 3 \][/tex]
[tex]\[ = 4 - 3 \][/tex]
[tex]\[ = 1 \][/tex]
### 3. Evaluación del valor de la función en [tex]$x = 1$[/tex]
Para el valor de la función en [tex]$x = 1$[/tex], usamos la definición de [tex]$f(x)$[/tex] para el caso [tex]$x \geq 1$[/tex]:
[tex]\[ f(1) = 4(1) - 3 \][/tex]
[tex]\[ = 4 - 3 \][/tex]
[tex]\[ = 1 \][/tex]
### 4. Comparación y conclusión
Comparamos los resultados obtenidos de los límites y el valor de la función:
[tex]\[ \lim_{{x \to 1^-}} f(x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ \lim_{{x \to 1^+}} f(x) = 1 \][/tex]
[tex]\[ f(1) = 1 \][/tex]
Dado que los dos límites coinciden y ambos son iguales al valor de la función en [tex]$x = 1$[/tex], podemos concluir que la función [tex]$f(x)$[/tex] es continua en [tex]$x_0 = 1$[/tex].
Por lo tanto, la afirmación correcta sobre la continuidad de la función en el punto [tex]$x_0=1$[/tex] es que la función es continua en [tex]$x_0 = 1$[/tex].
