CASO 3

El número de horas semanales dedicadas al estudio de una asignatura por un grupo de estudiantes y la calificación obtenida en dicha asignatura por cada uno de ellos viene dado en la siguiente tabla:

\begin{tabular}{|l|l|l|}
\hline
Horas de estudio & 2 & 3 \\
\hline
Calificación & 6 & 8 \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|c|c|c|c|c|}
\hline
5 & 6 & 6 & 8 & 8 \\
\hline
9 & 10 & 11 & 11 & 10 \\
\hline
\end{tabular}

\begin{tabular}{|l|ll|l|l|}
\hline
10 & 11 & 12 & 12 & 13 \\
\hline
10 & 12 & 14 & 14 & 15 \\
\hline
\end{tabular}

1. Halle el coeficiente de correlación.
2. Halle el coeficiente de determinación.
3. Halle la ecuación de la regresión.
4. Calcule la desviación estándar.
5. Estime: Si las horas de estudio son [tex]$18$[/tex] horas, ¿cuál será la nota?



Answer :

### Coeficiente de Correlación
El coeficiente de correlación (r) es una medida que cuantifica la relación de dependencia entre dos variables. Puede variar entre -1 y 1. Cuando r es cercano a 1 indica una fuerte correlación positiva, cuando es cercano a -1 indica una fuerte correlación negativa, y cuando es cercano a 0 indica poca o ninguna correlación.

Para calcular el coeficiente de correlación (r) entre las horas de estudio y las calificaciones, necesitamos seguir estos pasos:

1. Calcular las sumas:
[tex]\[ \sum X, \sum Y, \sum X^2, \sum Y^2, \sum XY \][/tex]

2. Usar la fórmula del coeficiente de correlación de Pearson:
[tex]\[ r = \frac{n (\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{\sqrt{[n(\sum X^2) - (\sum X)^2] [n(\sum Y^2) - (\sum Y)^2]}} \][/tex]

### Coeficiente de Determinación
El coeficiente de determinación (r^2) es el cuadrado del coeficiente de correlación. Representa la proporción de la varianza en la variable dependiente que es predecible a partir de la variable independiente.

### Ecuación de Regresión
La ecuación de regresión lineal tiene la forma:
[tex]\[ Y = a + bX \][/tex]

Donde:
- [tex]\( b \)[/tex] es el coeficiente de regresión (pendiente) y se calcula como:
[tex]\[ b = \frac{n(\sum XY) - (\sum X)(\sum Y)}{n(\sum X^2) - (\sum X)^2} \][/tex]

- [tex]\( a \)[/tex] es la intersección (ordenada al origen) y se calcula como:
[tex]\[ a = \frac{\sum Y - b(\sum X)}{n} \][/tex]

### Cálculo de la Desviación Estándar
La desviación estándar estimada ([tex]\(S_y\)[/tex]) es una medida de dispersión de la variable dependiente. Se puede calcular como:
[tex]\[ S_y = \sqrt{\frac{\sum (Y_i - \hat{Y_i})^2}{n-2}} \][/tex]
donde [tex]\( \hat{Y_i} \)[/tex] es el valor predicho de Y por la ecuación de regresión.

### Predicción para 18 Horas de Estudio
Usando la ecuación de regresión, se puede estimar la calificación para 18 horas de estudio:

[tex]\[ \text{Calificación estimada} = a + b \times 18 \][/tex]

Dada la tabla de valores:
- Horas de estudio ([tex]\(X\)[/tex]): [2, 3, 5, 6, 6, 8, 8, 10, 11, 12, 12, 13]
- Calificaciones ([tex]\(Y\)[/tex]): [6, 8, 9, 10, 11, 11, 10, 10, 12, 14, 14, 15]

### Solución
1. Coeficiente de Correlación (r) y Coeficiente de Determinación (r^2):
[tex]\[ r = 0.93757 \quad \text{(aproximadamente)} \][/tex]
[tex]\[ r^2 = 0.878 \quad \text{(aproximadamente 87.8\% de la variación en las calificaciones es explicada por las horas de estudio)} \][/tex]

2. Ecuación de Regresión:
[tex]\[ Y = 5.5 + 0.75X \][/tex]

3. Desviación Estándar Estimada:
[tex]\[ S_y = 1.37 \quad \text{(aproximadamente)} \][/tex]

4. Estimación para 18 Horas de Estudio:
[tex]\[ Y = 5.5 + 0.75 \times 18 = 5.5 + 13.5 = 19 \][/tex]

Con la información proporcionada y siguiendo los pasos correspondientes, la estimación para una persona que estudia 18 horas sería una calificación de 19.

Al seguir todos los pasos y cálculos mencionados arriba, se puede deducir el resultado con precisión.