Answered

Sean [tex]\( C_1 \)[/tex] y [tex]\( C_2 \)[/tex] dos circunferencias con centros en [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex], radios [tex]\( r_1 \)[/tex] y [tex]\( r_2 \)[/tex] respectivamente. Además, [tex]\(\overrightarrow{A B} = (8, 4)\)[/tex], [tex]\(\|\overrightarrow{A B}\| \ \textgreater \ r_1\)[/tex], [tex]\( L = \{N + t \vec{a}\} \)[/tex] es una recta que no intersecta al segmento [tex]\(\overrightarrow{A B}\)[/tex], [tex]\(\overrightarrow{A B} \cdot \vec{a} = 6 \sqrt{2} \|\vec{a}\| \)[/tex], [tex]\( L \)[/tex] intersecta a [tex]\( C_1 \)[/tex] en [tex]\( N = (3, 3) \)[/tex] y [tex]\( M \)[/tex], [tex]\( L \)[/tex] intersecta a [tex]\( C_2 \)[/tex] en [tex]\( M \)[/tex] y [tex]\( Q \)[/tex]. Si [tex]\(\overrightarrow{M B} = (7, 1) \)[/tex], entonces halle las coordenadas de los puntos [tex]\( A \)[/tex], [tex]\( B \)[/tex], [tex]\( M \)[/tex] y [tex]\( Q \)[/tex].



Answer :

GinnyAnswer
Para resolver esta pregunta, debemos calcular las coordenadas de los puntos [tex]\( A \)[/tex], [tex]\( B \)[/tex], [tex]\( M \)[/tex] y [tex]\( Q \)[/tex] utilizando la información proporcionada.

### Paso 1: Determinar las coordenadas de [tex]\( A \)[/tex] y [tex]\( B \)[/tex]

1. Las coordenadas de [tex]\( \overrightarrow{AB} \)[/tex] son [tex]\( (8, 4) \)[/tex], lo cual implica que si [tex]\( A = (x_1, y_1) \)[/tex] y [tex]\( B = (x_2, y_2) \)[/tex], entonces:
[tex]\[ x_2 - x_1 = 8 \quad \text{y} \quad y_2 - y_1 = 4 \][/tex]

Para simplificar, podemos asumir coordenadas iniciales para [tex]\( A \)[/tex]. Supongamos que [tex]\( A \)[/tex] está en [tex]\( (0, 0) \)[/tex]. Entonces, [tex]\( B \)[/tex] será:
[tex]\[ B = (x_1 + 8, y_1 + 4) \Rightarrow B = (8, 4) \][/tex]

Entonces las coordenadas iniciales son:
[tex]\[ A = (0, 0), \quad B = (8, 4) \][/tex]

### Paso 2: Determinar las coordenadas de [tex]\( M \)[/tex]

2. La recta [tex]\( L \)[/tex] no interseca el segmento [tex]\( \overrightarrow{AB} \)[/tex] y pasa por [tex]\( N = (3, 3) \)[/tex].
3. [tex]\( L \)[/tex] también interseca a [tex]\( C_1 \)[/tex] y a [tex]\( C_2 \)[/tex], y sabemos que [tex]\( \overrightarrow{MB} = (7, 1) \)[/tex], donde [tex]\( \overrightarrow{MB} \)[/tex] es la posición vectorial de [tex]\( M \)[/tex] respecto a [tex]\( B \)[/tex].

Si [tex]\( M \)[/tex] es un punto en [tex]\( C_2 \)[/tex] y calculamos sus coordenadas desde [tex]\( B \)[/tex]:
[tex]\[ M = B + \overrightarrow{MB} = (8, 4) + (7, 1) = (15, 5) \][/tex]

### Paso 3: Determinar las coordenadas de [tex]\( Q \)[/tex]

Finalmente, la recta [tex]\( L \)[/tex] también interseca el círculo [tex]\( C_2 \)[/tex] en otros puntos. Como no tenemos demasiada información adicional específica sobre los puntos exactos de [tex]\( Q \)[/tex], asumimos conveniencia dentro del contexto que [tex]\( L \)[/tex] pasa por puntos en los círculos, y utilizamos la propiedad perpendicular para deducir la simetría respecto a [tex]\( B \)[/tex]:

Sabiendo [tex]\( M = (15, 5) \)[/tex], consideramos que el punto [tex]\( Q \)[/tex] debe ser:
[tex]\[ Q = (15, 5) \Rightarrow \][/tex]

### Solución Final:

Finalmente, ubicamos estos datos obtenidos:
- Coordenadas de [tex]\( A \)[/tex]: [tex]\( (0, 0) \)[/tex]
- Coordenadas de [tex]\( B \)[/tex]: [tex]\( (8, 4) \)[/tex]
- Coordenadas de [tex]\( M \)[/tex]: [tex]\( (15, 5) \)[/tex]
- Coordenadas de [tex]\( Q \)[/tex]: [tex]\( (15, 5) \)[/tex] (considerato por segmento interseca por distancia igual ya encontrada de orden)