Para resolver el sistema de ecuaciones y encontrar [tex]\( m - n \)[/tex], seguimos los siguientes pasos detallados:
1. Planteamos las ecuaciones originales:
[tex]\[
m^2 + n^2 = 20
\][/tex]
[tex]\[
4mn = 2 \implies mn = \frac{1}{2}
\][/tex]
2. Encontrar las soluciones para [tex]\( m \)[/tex] y [tex]\( n \)[/tex]:
De las ecuaciones anteriores, resolvemos simultáneamente el sistema:
- Primero, ya tenemos que el producto [tex]\( mn = \frac{1}{2} \)[/tex].
- Luego, usando esta información en la ecuación cuadrática:
[tex]\[
m^2 + n^2 = 20
\][/tex]
Nos enfrentamos a encontrar las raíces de [tex]\(m\)[/tex] y [tex]\(n\)[/tex] que satisfacen ambas ecuaciones.
3. Resolviendo el sistema:
Después de resolver las ecuaciones, encontramos cuatro soluciones posibles para [tex]\( (m, n) \)[/tex]:
[tex]\[
\left(-2 \left(-10 - \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}, \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}\right)
\][/tex]
[tex]\[
\left(2 \left(-10 - \frac{\sqrt{399}}{2} \right) \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}, -\sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}\right)
\][/tex]
[tex]\[
\left(-2 \left(-10 + \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}, \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}\right)
\][/tex]
[tex]\[
\left(2 \left(-10 + \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}, -\sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}\right)
\][/tex]
4. Calculamos [tex]\( m - n \)[/tex] para cada solución:
Aplicamos la diferencia [tex]\( m - n \)[/tex] en cada par encontrado:
[tex]\[
\left(-2 \left(-10 - \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}\right) - \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}
\][/tex]
[tex]\[
2 \left(-10 - \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}} + \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}
\][/tex]
[tex]\[
\left(-2 \left(-10 + \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}\right) - \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}
\][/tex]
[tex]\[
2 \left(-10 + \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10} + \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}
\][/tex]
El resultado final da los valores de [tex]\( m - n \)[/tex]:
[tex]\[
\left(-\sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}} - 2 \left(-10 - \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}\right)
\][/tex]
[tex]\[
\left(2 \left(-10 - \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}} + \sqrt{10 - \frac{\sqrt{399}}{2}}\right)
\][/tex]
[tex]\[
\left(-\sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10} - 2 \left(-10 + \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}\right)
\][/tex]
[tex]\[
\left(2 \left(-10 + \frac{\sqrt{399}}{2}\right) \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10} + \sqrt{\frac{\sqrt{399}}{2} + 10}\right)
\][/tex]
