Vamos calcular a expressão [tex]\( I = \sqrt[3]{2^{-2} \sqrt[4]{2^3 \sqrt[3]{2^7 \sqrt[5]{2^{40}}}}} \)[/tex] passo a passo.
### Passo 1: Simplificação inicial
Primeiramente, simplificamos a expressão interna mais profunda:
1. Calcule [tex]\( 2^{-2} \)[/tex]:
[tex]\[
2^{-2} = \frac{1}{2^2} = \frac{1}{4} = 0.25
\][/tex]
### Passo 2: Simplificação das potências internas
Continuamos a reduzir as expressões dentro das raízes sucessivas:
2. Simplifique [tex]\( 2^7 \sqrt[5]{2^{40}} \)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt[5]{2^{40}} = 2^{40/5} = 2^8
\][/tex]
Então,
[tex]\[
2^7 \cdot 2^8 = 2^{7+8} = 2^{15} = 32768
\][/tex]
3. Simplifique [tex]\( \sqrt[3]{2^{15}} \)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt[3]{2^{15}} = 2^{15/3} = 2^5 = 32
\][/tex]
4. Simplifique [tex]\( \sqrt[4]{32} \)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt[4]{32} = 32^{1/4} \approx 2.378414230005442
\][/tex]
5. Simplifique [tex]\( 2^3 \cdot \sqrt[4]{32} \)[/tex]:
[tex]\[
2^3 \cdot 2.378414230005442 = 8 \cdot 2.378414230005442 \approx 19.027313840043536
\][/tex]
6. Simplifique a última raiz cúbica:
[tex]\[
\sqrt[3]{19.027313840043536} \approx 2.6696797083400687
\][/tex]
### Passo 3: Combinação final
Agora, combinamos tudo na expressão final:
7. Calcule [tex]\( 2^{-2} \cdot \sqrt[3]{19.027313840043536} \)[/tex]:
[tex]\[
0.25 \cdot 2.6696797083400687 \approx 0.6674099270850172
\][/tex]
8. Simplifique a raiz cúbica desta combinação:
[tex]\[
\sqrt[3]{0.6674099270850172} \approx 0.8739093576895269
\][/tex]
Então, a resposta final é:
[tex]\[
I \approx 0.8739093576895269
\][/tex]
