Claro, vamos a resolver la función logarítmica [tex]\( f(x) = \log_4((64)^5) \)[/tex] paso a paso:
1. Simplificar el argumento del logaritmo:
Observemos que [tex]\( 64 \)[/tex] se puede expresar como una potencia de [tex]\( 4 \)[/tex]. Sabemos que [tex]\( 64 = 4^3 \)[/tex] porque [tex]\( 4^3 = 4 \times 4 \times 4 = 64 \)[/tex].
2. Reemplazar [tex]\( 64 \)[/tex] por [tex]\( 4^3 \)[/tex]:
Entonces, tenemos:
[tex]\[
(64)^5 = (4^3)^5
\][/tex]
3. Aplicar las propiedades de las potencias:
Utilizando las propiedades de las potencias, sabemos que [tex]\( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \)[/tex]. Aplicando esto, obtenemos:
[tex]\[
(4^3)^5 = 4^{3 \cdot 5} = 4^{15}
\][/tex]
4. Modificar la función logarítmica:
Sustituimos de nuevo en la función logarítmica:
[tex]\[
f(x) = \log_4(4^{15})
\][/tex]
5. Aplicar las propiedades de los logaritmos:
Una de las propiedades fundamentales de los logaritmos es que [tex]\( \log_b(b^x) = x \)[/tex]. Aplicando esta propiedad en nuestro caso, tenemos:
[tex]\[
\log_4(4^{15}) = 15
\][/tex]
Por lo tanto, el resultado de [tex]\( f(x) = \log_4((64)^5) \)[/tex] es [tex]\( 15 \)[/tex].
Entonces, [tex]\( f(x) = 15 \)[/tex].
