Para derivar la función
[tex]\[ f(x) = \frac{1}{2} x^3 - 2 \sqrt{x} + 7 x - \frac{21}{234}, \][/tex]
y luego evaluarla en [tex]\( x = 4 \)[/tex], siga estos pasos:
### Paso 1: Derivar la función
Derivamos cada término de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] por separado.
1. [tex]\[ \frac{1}{2} x^3 \][/tex]
La derivada de este término es:
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{2} x^3 \right) = \frac{1}{2} \cdot 3x^2 = \frac{3}{2} x^2 \][/tex]
2. [tex]\[ -2 \sqrt{x} \][/tex]
Recordamos que [tex]\(\sqrt{x} = x^{1/2}\)[/tex]. La derivada de este término es:
[tex]\[ -2 \cdot \frac{d}{dx} \left( x^{1/2} \right) = -2 \cdot \frac{1}{2} x^{-1/2} = - \frac{1}{x^{1/2}} \][/tex]
3. [tex]\[ 7x \][/tex]
La derivada de este término es:
[tex]\[ \frac{d}{dx} (7x) = 7 \][/tex]
4. [tex]\[ - \frac{21}{234} \][/tex]
La derivada de una constante es 0.
[tex]\[ \frac{d}{dx} \left( - \frac{21}{234} \right) = 0 \][/tex]
Combinando estas derivadas, obtenemos:
[tex]\[ f'(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{x^{1/2}} + 7 \][/tex]
### Paso 2: Evaluar la derivada en [tex]\( x = 4 \)[/tex]
Ahora evaluamos [tex]\( f'(x) \)[/tex] en [tex]\( x = 4 \)[/tex]:
[tex]\[ f'(4) = \frac{3}{2} (4)^2 - \frac{1}{(4)^{1/2}} + 7 \][/tex]
Calculemos cada término:
1. [tex]\[ \frac{3}{2} (4)^2 = \frac{3}{2} \cdot 16 = 24 \][/tex]
2. [tex]\[ \frac{1}{(4)^{1/2}} = \frac{1}{2} \][/tex]
3. [tex]\[ 7 \][/tex]
Combinamos estos valores:
[tex]\[ f'(4) = 24 - \frac{1}{2} + 7 \][/tex]
Realizamos la resta y suma:
[tex]\[ 24 - 0.5 + 7 = 24 + 6.5 = 30.5 \][/tex]
### Resultado final
La derivada de la función [tex]\( f(x) \)[/tex] es:
[tex]\[ f'(x) = \frac{3}{2} x^2 - \frac{1}{x^{1/2}} + 7 \][/tex]
Evaluando esta derivada en [tex]\( x = 4 \)[/tex] obtenemos:
[tex]\[ f'(4) = 30.5 \][/tex]
Así, la derivada de la función evaluada en [tex]\( x = 4 \)[/tex] es [tex]\( 30.5 \)[/tex].
