Para calcular el límite [tex]\(\lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}\)[/tex], se deben seguir varios pasos:
1. Identificar la forma indeterminada:
Al sustituir [tex]\(x = 4\)[/tex] directamente en la función [tex]\(\frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2}\)[/tex], obtenemos:
[tex]\[
\frac{4 - 4}{\sqrt{4} - 2} = \frac{0}{0}
\][/tex]
Esto es una forma indeterminada, lo que significa que necesitamos otra técnica para evaluar el límite.
2. Racionalizar el denominador:
Una técnica común para resolver este tipo de límites es racionalizar el denominador multiplicando numerador y denominador por el conjugado del denominador. El conjugado de [tex]\(\sqrt{x} - 2\)[/tex] es [tex]\(\sqrt{x} + 2\)[/tex].
Multiplicamos ambos términos por [tex]\(\sqrt{x} + 2\)[/tex]:
[tex]\[
\frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2} \cdot \frac{\sqrt{x} + 2}{\sqrt{x} + 2}
\][/tex]
Esto da lugar a:
[tex]\[
\frac{(4 - x)(\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2)}
\][/tex]
3. Simplificar la expresión:
Simplificamos el denominador usando la identidad de diferencia de cuadrados:
[tex]\[
(\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = x - 4
\][/tex]
Sustituimos esto en la fracción:
[tex]\[
\frac{(4 - x)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4}
\][/tex]
Observamos que [tex]\(4 - x = -(x - 4)\)[/tex], entonces:
[tex]\[
\frac{-(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4} = \frac{-(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4}
\][/tex]
4. Cancelar términos comunes:
Podemos cancelar [tex]\(x - 4\)[/tex] en numerador y denominador:
[tex]\[
\frac{-(x - 4)(\sqrt{x} + 2)}{x - 4} = -(\sqrt{x} + 2)
\][/tex]
5. Evaluar el límite:
Ahora que la fracción está simplificada:
[tex]\[
-(\sqrt{x} + 2)
\][/tex]
Sustituimos [tex]\(x = 4\)[/tex]:
[tex]\[
-(\sqrt{4} + 2) = -(2 + 2) = -4
\][/tex]
Por lo tanto, el resultado del límite es:
[tex]\[
\lim_{x \to 4} \frac{4 - x}{\sqrt{x} - 2} = -4
\][/tex]
