Para determinar la solución general de la ecuación diferencial [tex]\( y'' + y = 0 \)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Plantear la ecuación característica:
Dada la ecuación diferencial de segundo orden [tex]\( y'' + y = 0 \)[/tex], primero se plantea la ecuación característica asociada. La ecuación característica se obtiene al sustituir [tex]\( y = e^{rx} \)[/tex] en la ecuación diferencial, lo cual nos lleva a:
[tex]\[
r^2 + 1 = 0
\][/tex]
2. Resolver la ecuación característica:
Ahora, resolvemos la ecuación característica para [tex]\( r \)[/tex]:
[tex]\[
r^2 = -1 \implies r = \pm i
\][/tex]
Aquí, [tex]\( i \)[/tex] es la unidad imaginaria.
3. Formar la solución general:
Dado que las raíces de la ecuación característica son complejas conjugadas, [tex]\( r = i \)[/tex] y [tex]\( r = -i \)[/tex], la forma de la solución general para ecuaciones diferenciales homogéneas con raíces imaginarias es:
[tex]\[
y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)
\][/tex]
El uso de funciones seno y coseno se debe a la identidad de Euler, que relaciona exponenciales complejas con funciones trigonométricas.
4. Seleccionar la respuesta correcta:
De las opciones proporcionadas, la que corresponde a nuestra solución general es:
[tex]\[
\mathbf{a.\ y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x)}
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta correcta es:
- a. [tex]\( y = C_1 \cos(x) + C_2 \sin(x) \)[/tex]
