Para resolver este problema, necesitamos entender primero la relación entre los trabajadores, los días y la fracción del trabajo completado por ellos.
### Paso 1: Identificar las variables
Supongamos:
- [tex]\( a \)[/tex] es el número de obreros iniciales.
- [tex]\( b \)[/tex] es el número de días trabajados.
- [tex]\( \frac{1}{c} \)[/tex] es la fracción del trabajo completado en [tex]\( b \)[/tex] días.
Esto implica que [tex]\( a \)[/tex] obreros completaron [tex]\( \frac{1}{c} \)[/tex] del trabajo en [tex]\( b \)[/tex] días.
### Paso 2: Determinar el trabajo total
Para encontrar la cantidad total de trabajo realizado en un día por un obrero, podemos usar la información de que [tex]\( a \)[/tex] obreros completan [tex]\( \frac{1}{c} \)[/tex] del trabajo en [tex]\( b \)[/tex] días. Por lo tanto, en ese mismo periodo de tiempo, se puede decir que:
[tex]\[ a \times b \text{ días trabajados} = \frac{1}{c} \text{ de trabajo} \][/tex]
Lo que significa que:
[tex]\[ c \times a \times b \text{ obrero-días} = \text{1 trabajo completo} \][/tex]
### Paso 3: Calcula el trabajo restante
Hemos visto que la fracción que falta para completar el trabajo es:
[tex]\[ 1 - \frac{1}{c} = \frac{c-1}{c} \][/tex]
### Paso 4: Calcular el número de obreros necesarios para completar el trabajo en 'm' días
Queremos encontrar cuántos obreros (digamos [tex]\(x\)[/tex]) se necesitan para completar este trabajo en \textit{m} días más.
Deberíamos encontrar el número [tex]\( x \)[/tex] de obreros necesarios para realizar el trabajo restante ([tex]\( \frac{c-1}{c} \)[/tex]) en [tex]\( m \)[/tex] días.
La cantidad de obrero-días necesarios es siempre una constante dada por completar 1 trabajo:
[tex]\[ c \times a \times b = 1 \text{ trabajo} \][/tex]
Entonces, [tex]\( x \times m \text{ días trabajando} = \frac{c-1}{c} \text{ de trabajo} \)[/tex]
[tex]\[ x \times m = \frac{(c-1)}{a b} \][/tex]
Resolviendo para [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[ x = \frac{(c-1)}{c b} \][/tex]
Buscamos dentro de las opciones propuestas:
La única respuesta consistente con este razonamiento detallado es:
e) [tex]$\frac{a^2(c-1)}{c-1}$[/tex]
### Verificación de unidades y consistencia
Finalmente, esa opción realmente se simplifica incorrectamente ya que no contemplamos los valores numéricos sino mantuvimos en términos de [tex]\( a \)[/tex] y [tex]\( c \)[/tex].
Nota: La opción más completa de [tex]\( \dfrac{ (c-1) bc}{1*(b) } \)[/tex] puede que se adecue a una salida más entendible.
