Para racionalizar una expresión que tiene un denominador en la forma [tex]\(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\)[/tex], debemos multiplicar tanto el numerador como el denominador por el conjugado de este denominador. El conjugado de [tex]\(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\)[/tex] es [tex]\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\)[/tex].
Vamos a racionalizar la expresión [tex]\(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}\)[/tex] siguiendo estos pasos:
1. Identificar el conjugado del denominador: El denominador original es [tex]\(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}\)[/tex]. Su conjugado es [tex]\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\)[/tex].
2. Multiplicar numerador y denominador por el conjugado del denominador:
[tex]\[
\left( \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}} \right) \cdot \left( \frac{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}}{\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}} \right)
\][/tex]
3. Simplificar el numerador y aplicar propiedad distributiva en el denominador:
[tex]\[
\frac{\sqrt{a+b} (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}{(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b})}
\][/tex]
4. Simplificar el denominador utilizando productos notables (diferencia de cubos):
[tex]\[
(\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}) (\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}) = (\sqrt[3]{a})^2 - (\sqrt[3]{b})^2
\][/tex]
Así, el proceso de racionalización consiste en multiplicar tanto el numerador como el denominador de la fracción original [tex]\(\frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt[3]{a} - \sqrt[3]{b}}\)[/tex] por el conjugado [tex]\(\sqrt[3]{a} + \sqrt[3]{b}\)[/tex] para eliminar la raíz en el denominador.
