¡Claro! Vamos a resolver el problema en detalle.
Primero, debemos entender el problema:
- Se agrega una cierta cantidad de calor a una masa de aluminio y su temperatura se eleva [tex]$57^{\circ} C$[/tex].
- Se pregunta cuánto se elevará la temperatura si la misma cantidad de calor se agrega a la misma masa de cobre.
### Paso 1: Conocer los datos
Tenemos los siguientes valores:
- Aumento de temperatura del aluminio ([tex]$\Delta T_{\text{Al}}$[/tex]): [tex]\(57^{\circ} C\)[/tex]
- Capacidad calorífica específica del aluminio ([tex]$C_{\text{Al}}$[/tex]): [tex]\(897 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C})\)[/tex]
- Capacidad calorífica específica del cobre ([tex]$C_{\text{Cu}}$[/tex]): [tex]\(385 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C})\)[/tex]
### Paso 2: Energía térmica usada para calentar el aluminio
Utilizamos la fórmula de la energía térmica para calcular la cantidad de calor utilizada para elevar la temperatura del aluminio:
[tex]\[ Q = C_{\text{Al}} \cdot m \cdot \Delta T_{\text{Al}} \][/tex]
Como queremos encontrar la misma energía utilizada, podemos simplemente calcularla basada en los datos proporcionados.
Dado que [tex]\( \Delta T_{\text{Al}} = 57^{\circ} C \)[/tex] y [tex]\( C_{\text{Al}} = 897 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C}) \)[/tex], tenemos:
[tex]\[ Q = 897 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C}) \cdot \Delta T_{\text{Al}} \][/tex]
[tex]\[ Q = 897 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C}) \cdot 57^{\circ} C \][/tex]
[tex]\[ Q = 51129 \, \text{J}/\text{kg} \][/tex]
### Paso 3: Determinar el aumento de temperatura del cobre
Ahora, utilizamos esta cantidad de calor para determinar el aumento de temperatura del cobre ([tex]$\Delta T_{\text{Cu}}$[/tex]):
[tex]\[ Q = C_{\text{Cu}} \cdot m \cdot \Delta T_{\text{Cu}} \][/tex]
Nos interesa encontrar [tex]$\Delta T_{\text{Cu}}$[/tex], así que despejamos [tex]$\Delta T_{\text{Cu}}$[/tex] de la fórmula anterior:
[tex]\[ \Delta T_{\text{Cu}} = \frac{Q}{C_{\text{Cu}} \cdot m} \][/tex]
Ya tenemos que [tex]\( Q = 51129 \, \text{J}/\text{kg} \)[/tex] y [tex]\( C_{\text{Cu}} = 385 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C}) \)[/tex]. Entonces, simplemente sustituimos en la fórmula:
[tex]\[ \Delta T_{\text{Cu}} = \frac{51129 \, \text{J}/\text{kg} }{385 \, \text{J}/(\text{kg} \cdot \text{°C})} \][/tex]
[tex]\[ \Delta T_{\text{Cu}} \approx 132.80^{\circ} C \][/tex]
### Conclusión
Después de agregar la misma cantidad de calor a la masa de cobre, la temperatura del cobre se elevará aproximadamente [tex]\(132.8026^{\circ} C\)[/tex].
