Para determinar el [tex]\(10^{\circ}\)[/tex] término de la progresión geométrica [tex]\(3, -9, 27, -81, \cdots\)[/tex], sigamos los pasos detallados:
1. Identificar el primer término ([tex]\(a\)[/tex]) y la razón común ([tex]\(r\)[/tex]):
- El primer término, [tex]\(a\)[/tex], es [tex]\(3\)[/tex].
- La razón común, [tex]\(r\)[/tex], se puede encontrar dividiendo cualquier término por el término anterior. Por ejemplo:
[tex]\[
r = \frac{-9}{3} = -3
\][/tex]
2. Utilizar la fórmula para encontrar el [tex]\(n\)[/tex]-ésimo término en una progresión geométrica:
[tex]\[
a_n = a \cdot r^{n-1}
\][/tex]
Donde [tex]\(a\)[/tex] es el primer término, [tex]\(r\)[/tex] es la razón común y [tex]\(n\)[/tex] es la posición del término que queremos encontrar (en este caso, [tex]\(n = 10\)[/tex]).
3. Sustituir los valores conocidos en la fórmula:
[tex]\[
a_{10} = 3 \cdot (-3)^{10 - 1}
\][/tex]
4. Calcular el exponente:
[tex]\[
(-3)^9
\][/tex]
- El resultado de elevar [tex]\(-3\)[/tex] a la novena potencia es [tex]\(-19683\)[/tex].
5. Multiplicar por el primer término ([tex]\(a\)[/tex]):
[tex]\[
a_{10} = 3 \cdot -19683 = -59049
\][/tex]
Por lo tanto, el [tex]\(10^{\circ}\)[/tex] término de la progresión geométrica es [tex]\(-59049\)[/tex].
