Claro, vamos a resolver el problema paso a paso.
### Paso 1: Definición de los números originales
Tenemos tres números: [tex]\(2\)[/tex], [tex]\(10\)[/tex], y [tex]\(26\)[/tex].
### Paso 2: Definición de la cantidad añadida
Supongamos que la cantidad que se añade a cada número es [tex]\(x\)[/tex].
### Paso 3: Expresión de los nuevos números
Al añadir [tex]\(x\)[/tex] a cada número original, obtenemos los siguientes nuevos números:
- El primer número será: [tex]\(2 + x\)[/tex]
- El segundo número será: [tex]\(10 + x\)[/tex]
- El tercer número será: [tex]\(26 + x\)[/tex]
### Paso 4: Condición de una Progresión Geométrica
Para que estos nuevos números estén en progresión geométrica (P.G.), la razón entre números consecutivos debe ser constante. Es decir, la relación entre el segundo y el primer número debe ser igual a la relación entre el tercer y el segundo número.
Esto se traduce en la ecuación:
[tex]\[
\frac{10 + x}{2 + x} = \frac{26 + x}{10 + x}
\][/tex]
### Paso 5: Igualar razones y resolver la ecuación
Multiplicamos en cruz para eliminar las fracciones:
[tex]\[
(10 + x) \cdot (10 + x) = (2 + x) \cdot (26 + x)
\][/tex]
### Paso 6: Simplificación de la ecuación
Desarrollemos cada lado de la ecuación:
[tex]\[
(10 + x)^2 = (2 + x)(26 + x)
\][/tex]
[tex]\[
100 + 20x + x^2 = 52 + 2x + 26x + x^2
\][/tex]
[tex]\[
100 + 20x + x^2 = 52 + 28x + x^2
\][/tex]
### Paso 7: Cancelación de términos
Observamos que en ambos lados de la ecuación poseen [tex]\(x^2\)[/tex], así que podemos restarlos de ambos lados:
[tex]\[
100 + 20x = 52 + 28x
\][/tex]
### Paso 8: Resolución de la ecuación lineal resultante
Aislamos [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
100 + 20x = 52 + 28x
\][/tex]
[tex]\[
100 - 52 = 28x - 20x
\][/tex]
[tex]\[
48 = 8x
\][/tex]
[tex]\[
x = \frac{48}{8}
\][/tex]
[tex]\[
x = 6
\][/tex]
### Resultado final
La cantidad que se añade a cada número para formar una progresión geométrica es [tex]\( \boxed{6} \)[/tex].
