Para encontrar el centro y el radio de la circunferencia dada por la ecuación [tex]\((x+2)^2+(y-3)^2=16\)[/tex], sigamos los siguientes pasos:
1. Identificar la forma estándar de la ecuación de una circunferencia:
La forma estándar de la ecuación de una circunferencia es [tex]\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)[/tex], donde [tex]\((h, k)\)[/tex] son las coordenadas del centro y [tex]\(r\)[/tex] es el radio.
2. Comparar con la ecuación dada:
La ecuación que tenemos es [tex]\((x+2)^2 + (y-3)^2 = 16\)[/tex].
3. Reescribir la ecuación para identificar el centro:
Para que la ecuación se asemeje a la forma estándar [tex]\((x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2\)[/tex], debemos escribir [tex]\((x+2)\)[/tex] como [tex]\((x - (-2))\)[/tex]. De aquí, se puede ver que [tex]\((-2)\)[/tex] es el valor de [tex]\(h\)[/tex] y [tex]\(3\)[/tex] es el valor de [tex]\(k\)[/tex].
Así, identificamos que el centro de la circunferencia es [tex]\((-2, 3)\)[/tex].
4. Determinar el radio:
En la forma estándar, el radio es el número al cual está igualada la suma de los cuadrados, pero elevado al cuadrado. Entonces, tenemos que [tex]\(r^2 = 16\)[/tex].
Despejando [tex]\(r\)[/tex], obtenemos [tex]\(r = \sqrt{16} = 4\)[/tex].
5. Conclusión:
De esta forma, el centro de la circunferencia es [tex]\((-2, 3)\)[/tex] y el radio es [tex]\(4\)[/tex].
Por lo tanto, la opción correcta es:
d. [tex]\((-2, 3), r=4\)[/tex]
