Para resolver este problema, debemos considerar tanto la disposición circular de todas las personas en la mesa como la condición especial de que los niños siempre deben estar juntos.
1. Considerar a los niños como un "bloque": Dado que los 3 niños siempre deben estar juntos, podemos tratarlos como una sola entidad o "bloque". De esta forma, simplificamos el problema a la disposición de 4 varones, 5 mujeres y 1 "bloque" de niños.
2. Disposición de las personas alrededor de una mesa circular: Al tener un total de 4 varones + 5 mujeres + 1 "bloque de niños" = 10 entidades, debemos recordar que en una disposición circular el número de formas de organizar [tex]\( n \)[/tex] elementos es [tex]\((n-1)!\)[/tex]. Esto se debe a que en una mesa circular, una posición puede ser fija y las demás girar alrededor de ella.
Entonces, las 10 entidades alrededor de la mesa circular se pueden disponer de [tex]\((10-1)!\)[/tex] maneras, es decir, [tex]\(9!\)[/tex].
3. Disposición de los niños dentro del "bloque": Dentro del "bloque", los 3 niños pueden organizarse de cualquier manera entre ellos. Así que el número de formas de organizar a los 3 niños es [tex]\(3!\)[/tex].
4. Calcular el total de disposiciones: Combinamos las dos cantidades anteriores para obtener el número total de maneras de organizar a todos los individuos cumpliendo la condición dada. Así, multiplicamos las dos disposiciones:
[tex]\[
9! \times 3!
\][/tex]
5. Resultado final:
[tex]\[
9! = 362880
\][/tex]
[tex]\[
3! = 6
\][/tex]
[tex]\[
9! \times 3! = 362880 \times 6 = 2177280
\][/tex]
Por lo tanto, el número total de maneras diferentes en que pueden ubicarse alrededor de una mesa circular los 4 varones, 5 mujeres y 3 niños (siempre juntos) es [tex]\(2177280\)[/tex].
