Para factorizar la expresión [tex]\(x^{m+4} y^{n+2} - 5 x^{m+6} y^{n-1} - 3 x^{m+1} y^{n+1}\)[/tex], sigamos estos pasos detallados:
1. Determinar el factor común entre los tres términos:
Observemos los exponentes de [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] en cada término:
- Primer término: [tex]\(x^{m+4} y^{n+2}\)[/tex]
- Segundo término: [tex]\(5 x^{m+6} y^{n-1}\)[/tex]
- Tercer término: [tex]\(3 x^{m+1} y^{n+1}\)[/tex]
2. Identificar los menores exponentes:
- Para [tex]\(x\)[/tex], los exponentes son: [tex]\(m+4\)[/tex], [tex]\(m+6\)[/tex] y [tex]\(m+1\)[/tex].
El menor exponente es [tex]\(m+1\)[/tex].
- Para [tex]\(y\)[/tex], los exponentes son: [tex]\(n+2\)[/tex], [tex]\(n-1\)[/tex] y [tex]\(n+1\)[/tex].
El menor exponente es [tex]\(n-1\)[/tex].
3. Extraer el factor común:
Al extraer el factor común de [tex]\(x^{m+1}\)[/tex] y [tex]\(y^{n+1}\)[/tex], reescribimos cada término en función del factor común:
[tex]\[
x^{m+4} y^{n+2} = x^{m+1} \cdot x^3 \cdot y^{n+1} \cdot y \quad \Rightarrow \quad x^{m+1} y^{n+1} \cdot x^3 y
\][/tex]
[tex]\[
5 x^{m+6} y^{n-1} = 5 \cdot x^{m+1} \cdot x^5 \cdot y^{n-1} \quad \Rightarrow \quad 5 x^{m+1} y^{n+1} \cdot x^5 y^{-2}
\][/tex]
[tex]\[
3 x^{m+1} y^{n+1} \text{ (este término ya está en la forma adecuada)}
\][/tex]
4. Reescribir la expresión con el factor común extraído:
Ahora podemos escribir la expresión original como:
[tex]\[
x^{m+4} y^{n+2} - 5 x^{m+6} y^{n-1} - 3 x^{m+1} y^{n+1} = x^{m+1} y^{n+1} (x^{3} y - 5 x^{5} y^{-2} - 3)
\][/tex]
5. Simplificar dentro del paréntesis:
Simplifiquemos los términos dentro del paréntesis:
[tex]\[
x^{m+1} y^{n+1} \left( x^3 y - 5 x^5 y^{-2} - 3 \right) = x^{m+1} y^{n+1} \left( x^3 y - 5 x^5 y^{-2} - 3 \right)
\][/tex]
Como resultado, la expresión completamente factorizada es:
[tex]\[
\boxed{x^{m+1} y^{n+1} (x^3 y - 5 x^5 y^{-2} - 3)}
\][/tex]
Esta es la forma factorizada de la expresión dada.
