Calcule la representación trigonométrica del número complejo [tex]z=(4-i)(1+2i)+\frac{1-i}{1+i}[/tex].

Para este cálculo debe:

a) Realizar las operaciones indicadas.
b) Hallar el módulo y el argumento de [tex]z[/tex].

Escriba la representación trigonométrica del número complejo [tex]z[/tex].



Answer :

Para resolver el problema de hallar la representación trigonométrica del número complejo
[tex]\[ z = (4 - i)(1 + 2i) + \frac{1 - i}{1 + i} \][/tex]

podemos desglosarlo en los siguientes pasos:

### a) Realiza las operaciones indicadas

1. Multiplicación de los complejos [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex]:

Podemos realizar la multiplicación de los números complejos directamente:

[tex]\[ (4 - i)(1 + 2i) = 4 \cdot 1 + 4 \cdot 2i - i \cdot 1 - i \cdot 2i \][/tex]

Simplificamos:

[tex]\[ = 4 + 8i - i - 2i^2 \][/tex]

Recordando que [tex]\( i^2 = -1 \)[/tex]:

[tex]\[ = 4 + 8i - i + 2 = 6 + 7i \][/tex]

Entonces, el resultado de [tex]\( (4 - i)(1 + 2i) \)[/tex] es [tex]\( 6 + 7i \)[/tex].

2. División de los complejos [tex]\(\frac{1 - i}{1 + i}\)[/tex]:

Para simplificar la expresión, multiplique el numerador y el denominador por el conjugado del denominador:

[tex]\[ \frac{1 - i}{1 + i} \cdot \frac{1 - i}{1 - i} = \frac{(1 - i)^2}{(1 + i)(1 - i)} \][/tex]

Calculemos el numerador y el denominador por separado:

- Numerador:

[tex]\[ (1 - i)^2 = 1 - 2i + i^2 = 1 - 2i - 1 = -2i \][/tex]

- Denominador:

[tex]\[ (1 + i)(1 - i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2 \][/tex]

Entonces:

[tex]\[ \frac{-2i}{2} = -i \][/tex]

Por lo tanto, el resultado de [tex]\( \frac{1 - i}{1 + i} \)[/tex] es [tex]\( -i \)[/tex].

3. Suma de los resultados obtenidos:

[tex]\( 6 + 7i \)[/tex] + [tex]\( -i \)[/tex] = [tex]\( 6 + 6i \)[/tex].

Así que [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex].

### b) Halle el módulo y el argumento de [tex]\( z \)[/tex]

1. Cálculo del módulo:

El módulo de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula como:

[tex]\[ |z| = \sqrt{a^2 + b^2} \][/tex]

Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:

[tex]\[ |z| = \sqrt{6^2 + 6^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2} = 8.48528137423857 \][/tex]

2. Cálculo del argumento:

El argumento de un número complejo [tex]\(a + bi\)[/tex] se calcula utilizando:

[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) \][/tex]

Para [tex]\( z = 6 + 6i \)[/tex]:

[tex]\[ \theta = \arctan\left(\frac{6}{6}\right) = \arctan(1) = \frac{\pi}{4} \approx 0.7853981633974483 \text{ radianes} \][/tex]

Convirtiendo a grados:

[tex]\[ \theta \times \left( \frac{180}{\pi} \right) = 0.7853981633974483 \times 57.29577951308232 \approx 45^\circ \][/tex]

Por lo tanto, la representación trigonométrica del número complejo [tex]\( z \)[/tex] es:

[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4} \right) \][/tex]

o en su forma en grados:

[tex]\[ z = 8.48528137423857 \left( \cos 45^\circ + i \sin 45^\circ \right) \][/tex]