Answer :
Vamos a revisar cada afirmación una por una y determinar si son verdaderas o falsas, justificando la respuesta en caso de ser falsa.
Afirmación 3: El dominio de la función definida por [tex]\( f(x)=\frac{3x}{x+2} \)[/tex] es [tex]\( \text{Dom }f = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)[/tex].
Primero, examinemos la función [tex]\( f(x)=\frac{3x}{x+2} \)[/tex]. Para determinar el dominio, debemos examinar los valores de [tex]\( x \)[/tex] que hacen que la función esté definida. En este caso, la función está definida para todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] excepto donde el denominador se hace cero. Específicamente, el denominador es [tex]\( x + 2 \)[/tex], por lo que la función no está definida cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex].
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f \)[/tex] es todos los números reales excepto [tex]\( -2 \)[/tex], lo cual está correctamente expresado como [tex]\( \text{Dom }f = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)[/tex].
Esta afirmación es verdadera (V).
Afirmación 5: El rango de la función [tex]\( h(x)=\frac{4}{x^2} \)[/tex] es [tex]\( \text{Ran }h = [1, \infty) \)[/tex].
Ahora, consideremos la función [tex]\( h(x)=\frac{4}{x^2} \)[/tex]. Recordemos que [tex]\( x^2 \)[/tex] es siempre positiva para todo número real distinto de cero. Por lo tanto, [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] será siempre positiva y nunca será cero. A medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de cero (en positivo o en negativo), [tex]\( x^2 \)[/tex] se hace muy grande y, por lo tanto, [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] se aproxima a cero pero nunca lo toca. Inversamente, conforme [tex]\( x \)[/tex] se acerca a cero, [tex]\( x^2 \)[/tex] disminuye y [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] aumenta, sin límite superior.
Por lo tanto, el rango correcto de [tex]\( h \)[/tex] es todos los números positivos mayores que cero, es decir, [tex]\( (0, \infty) \)[/tex]. La afirmación dada como [tex]\( [1, \infty) \)[/tex] es incorrecta.
Esta afirmación es falsa (F).
Afirmación 6: Las funciones con raíz cuadrada tienen como rango todos los números reales.
Por último, analicemos las funciones con raíz cuadrada. Una función de raíz cuadrada, como [tex]\( \sqrt{x} \)[/tex], siempre da como resultado un número no negativo (es decir, [tex]\( \geq 0 \)[/tex]). Por lo tanto, su rango incluye solo los números reales no negativos y nunca los negativos. Por ejemplo, la función [tex]\( \sqrt{x} \)[/tex] tiene un rango de [tex]\( [0, \infty) \)[/tex].
Esta afirmación es incorrecta porque las funciones con raíz cuadrada no tienen como rango todos los números reales, sino solamente los números reales no negativos.
Esta afirmación es falsa (F).
Resumen:
- Afirmación 3: Verdadera (V)
- Afirmación 5: Falsa (F)
- Afirmación 6: Falsa (F)
Afirmación 3: El dominio de la función definida por [tex]\( f(x)=\frac{3x}{x+2} \)[/tex] es [tex]\( \text{Dom }f = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)[/tex].
Primero, examinemos la función [tex]\( f(x)=\frac{3x}{x+2} \)[/tex]. Para determinar el dominio, debemos examinar los valores de [tex]\( x \)[/tex] que hacen que la función esté definida. En este caso, la función está definida para todos los valores de [tex]\( x \)[/tex] excepto donde el denominador se hace cero. Específicamente, el denominador es [tex]\( x + 2 \)[/tex], por lo que la función no está definida cuando [tex]\( x = -2 \)[/tex].
Por lo tanto, el dominio de [tex]\( f \)[/tex] es todos los números reales excepto [tex]\( -2 \)[/tex], lo cual está correctamente expresado como [tex]\( \text{Dom }f = \mathbb{R} \setminus \{-2\} \)[/tex].
Esta afirmación es verdadera (V).
Afirmación 5: El rango de la función [tex]\( h(x)=\frac{4}{x^2} \)[/tex] es [tex]\( \text{Ran }h = [1, \infty) \)[/tex].
Ahora, consideremos la función [tex]\( h(x)=\frac{4}{x^2} \)[/tex]. Recordemos que [tex]\( x^2 \)[/tex] es siempre positiva para todo número real distinto de cero. Por lo tanto, [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] será siempre positiva y nunca será cero. A medida que [tex]\( x \)[/tex] se aleja de cero (en positivo o en negativo), [tex]\( x^2 \)[/tex] se hace muy grande y, por lo tanto, [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] se aproxima a cero pero nunca lo toca. Inversamente, conforme [tex]\( x \)[/tex] se acerca a cero, [tex]\( x^2 \)[/tex] disminuye y [tex]\( \frac{4}{x^2} \)[/tex] aumenta, sin límite superior.
Por lo tanto, el rango correcto de [tex]\( h \)[/tex] es todos los números positivos mayores que cero, es decir, [tex]\( (0, \infty) \)[/tex]. La afirmación dada como [tex]\( [1, \infty) \)[/tex] es incorrecta.
Esta afirmación es falsa (F).
Afirmación 6: Las funciones con raíz cuadrada tienen como rango todos los números reales.
Por último, analicemos las funciones con raíz cuadrada. Una función de raíz cuadrada, como [tex]\( \sqrt{x} \)[/tex], siempre da como resultado un número no negativo (es decir, [tex]\( \geq 0 \)[/tex]). Por lo tanto, su rango incluye solo los números reales no negativos y nunca los negativos. Por ejemplo, la función [tex]\( \sqrt{x} \)[/tex] tiene un rango de [tex]\( [0, \infty) \)[/tex].
Esta afirmación es incorrecta porque las funciones con raíz cuadrada no tienen como rango todos los números reales, sino solamente los números reales no negativos.
Esta afirmación es falsa (F).
Resumen:
- Afirmación 3: Verdadera (V)
- Afirmación 5: Falsa (F)
- Afirmación 6: Falsa (F)
