Para resolver este problema, vamos a desglosar los números y sumar sus dígitos por partes, respetando la relación dada [tex]\(a + b + c = 15\)[/tex].
Primero, identificamos cada número con sus respectivos dígitos:
1. [tex]\(\overline{abc}\)[/tex]: Aquí los dígitos son [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex].
2. [tex]\(\overline{1ab}\)[/tex]: Aquí los dígitos son [tex]\(1\)[/tex], [tex]\(a\)[/tex] y [tex]\(b\)[/tex].
3. [tex]\(\overline{bca}\)[/tex]: Aquí los dígitos son [tex]\(b\)[/tex], [tex]\(c\)[/tex] y [tex]\(a\)[/tex].
Ahora calculamos la suma de los dígitos de cada número:
1. Para [tex]\(\overline{abc}\)[/tex], la suma de los dígitos es [tex]\(a + b + c\)[/tex].
2. Para [tex]\(\overline{1ab}\)[/tex], la suma de los dígitos es [tex]\(1 + a + b\)[/tex].
3. Para [tex]\(\overline{bca}\)[/tex], la suma de los dígitos es [tex]\(b + c + a\)[/tex].
Sumamos todas estas expresiones:
[tex]\[
(a + b + c) + (1 + a + b) + (b + c + a)
\][/tex]
Simplificamos la expresión agrupando términos semejantes:
[tex]\[
(a + b + c) + (1 + a + b) + (b + c + a) = a + b + c + 1 + a + b + b + c + a
\][/tex]
Reorganizamos y agrupamos los términos [tex]\(a\)[/tex], [tex]\(b\)[/tex] y [tex]\(c\)[/tex]:
[tex]\[
= a + a + a + b + b + b + b + c + c + 1
\][/tex]
[tex]\[
= 3a + 4b + 2c + 1
\][/tex]
Sabemos que [tex]\(a + b + c = 15\)[/tex]. Sin embargo, está claro que esta simplificación ya no cambiaría nuestra suma parcial de términos una vez expresada.
Por lo tanto, la suma de los dígitos de la expresión [tex]\(\overline{abc} + \overline{1ab} + \overline{bca}\)[/tex] es:
[tex]\[
3.0a + 3.0b + 2.0c + 1.0
\][/tex]
