Para determinar el valor de [tex]\( a \)[/tex] tal que la ecuación cuadrática [tex]\( ax^2 + 4x + 4 = 0 \)[/tex] tenga una raíz única, necesitamos considerar la fórmula del discriminante de una ecuación cuadrática. La discriminante, [tex]\( D \)[/tex], de una ecuación cuadrática de la forma [tex]\( ax^2 + bx + c = 0 \)[/tex] está dada por:
[tex]\[ D = b^2 - 4ac \][/tex]
Si la ecuación cuadrática tiene una raíz única, esto significa que el discriminante debe ser igual a cero. Entonces tenemos:
[tex]\[ D = 0 \][/tex]
Primero, identificamos los coeficientes de la ecuación dada:
[tex]\[ a \cdot x^2 + 4 \cdot x + 4 = 0 \][/tex]
Aquí, [tex]\( a \)[/tex] es el coeficiente de [tex]\( x^2 \)[/tex], [tex]\( b \)[/tex] es 4, y [tex]\( c \)[/tex] es también 4.
Sustituimos estos valores en la fórmula del discriminante:
[tex]\[ b^2 - 4ac = 0 \][/tex]
Entonces:
[tex]\[ 4^2 - 4 \cdot a \cdot 4 = 0 \][/tex]
Simplificamos esta ecuación:
[tex]\[ 16 - 16a = 0 \][/tex]
Ahora, resolvemos para [tex]\( a \)[/tex]:
[tex]\[ 16 = 16a \][/tex]
Dividimos ambos lados de la ecuación entre 16:
[tex]\[ a = \frac{16}{16} \][/tex]
[tex]\[ a = 1 \][/tex]
Por lo tanto, el valor de [tex]\( a \)[/tex] para que la ecuación cuadrática [tex]\( ax^2 + 4x + 4 = 0 \)[/tex] tenga una raíz única es:
[tex]\[ a = 1 \][/tex]
