Claro, vamos a resolver este problema paso a paso.
### Parte a) Cálculo de la energía potencial gravitacional en la altura máxima
Primero, necesitamos recordar la fórmula para la energía potencial gravitacional ([tex]\( E_p \)[/tex]) que es:
[tex]\[ E_p = m \cdot g \cdot h \][/tex]
donde:
- [tex]\( m \)[/tex] es la masa del objeto (en este caso, la bala),
- [tex]\( g \)[/tex] es la aceleración debido a la gravedad, y
- [tex]\( h \)[/tex] es la altura sobre la cual estamos calculando la energía potencial.
Dado:
- Masa de la bala, [tex]\( m = 50 \)[/tex] kg
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \)[/tex] [tex]\(\text{m/s}^2\)[/tex]
- Altura máxima alcanzada por la bala, [tex]\( h = 4 \times 10^2 \)[/tex] m
Usamos estos valores en la fórmula de la energía potencial:
[tex]\[ E_{p, \text{max}} = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 400 \, \text{m} \][/tex]
Esto nos da:
[tex]\[ E_{p, \text{max}} = 196200 \, \text{J} \][/tex]
Así que, la energía potencial gravitacional del sistema Tierra-bala respecto a la superficie de la Tierra cuando la bala alcanza su máxima altura es de 196200 J.
### Parte b) Cálculo de la energía potencial gravitacional a una altura media
Ahora, necesitamos calcular la energía potencial gravitacional cuando la bala está a una altura intermedia de [tex]\( 2 \times 10^2 \)[/tex] m.
Usamos la misma fórmula de energía potencial:
[tex]\[ E_p = m \cdot g \cdot h \][/tex]
Dado:
- Masa de la bala, [tex]\( m = 50 \)[/tex] kg
- Aceleración debido a la gravedad, [tex]\( g = 9.81 \, \text{m/s}^2 \)[/tex]
- Altura intermedia, [tex]\( h = 2 \times 10^2 \)[/tex] m
Usamos estos valores en la fórmula de la energía potencial:
[tex]\[ E_{p, \text{mid}} = 50 \, \text{kg} \times 9.81 \, \text{m/s}^2 \times 200 \, \text{m} \][/tex]
Esto nos da:
[tex]\[ E_{p, \text{mid}} = 98100 \, \text{J} \][/tex]
Así que, la energía potencial gravitacional del sistema Tierra-bala respecto a la superficie de la Tierra cuando la bala alcanza la altura intermedia de 200 m es de 98100 J.
Resumiendo:
- La energía potencial a la altura máxima de 400 m es de 196200 J.
- La energía potencial a la altura intermedia de 200 m es de 98100 J.
