¿Cuál de las siguientes opciones completa correctamente la siguiente figura?

\begin{tabular}{|l|c|c|c|c|}
\hline
[tex]$+5 m$[/tex] & [tex]$-8 n$[/tex] & [tex]$+20 m$[/tex] & & [tex]$+80 m$[/tex] \\
\hline
[tex]$+2 n$[/tex] & [tex]$-10 m$[/tex] & [tex]$+32 n$[/tex] & & [tex]$+512 n$[/tex] \\
\hline
\end{tabular}

A. [tex]$+120 n,+36 m$[/tex]

B. [tex]$-120 n,-36 m$[/tex]

C. [tex]$+128 n,+140 m$[/tex]

D. [tex]$-128 n,-140 m$[/tex]

E. [tex]$+132 n,+42 m$[/tex]



Answer :

Para resolver cuál de las opciones completa correctamente la figura, es importante identificar los patrones de cambio en las secuencias dadas. Vamos a analizar los dos conjuntos de valores separados por las filas:

### Análisis de la primera fila de la tabla:
[tex]\[ +5m, \quad -8n, \quad +20m, \quad ? \quad +80m \][/tex]

#### Secuencia de 'm':

1. De [tex]\(+5m\)[/tex] a [tex]\(+20m\)[/tex]:
- Observar que multiplicar por 4 nos lleva de [tex]\(+5m\)[/tex] a [tex]\(+20m\)[/tex] ([tex]\(5 \times 4 = 20\)[/tex]).

2. De [tex]\(+20m\)[/tex] a ? (valor por hallar):
- Parece que la relación es multiplicativa.
- Si seguimos con el patrón observado, el valor intermedio entre [tex]\(+20m\)[/tex] y [tex]\(+80m\)[/tex] podría ser una relación tomando multiplicación.
- Analizando más de cerca, [tex]\(20m \times 2 = 40m\)[/tex] hace un buen ajuste aquí.

3. De ? a [tex]\(+80m\)[/tex]:
- Continuando con el patrón, [tex]\(40m \times 2 = 80m\)[/tex].


### Análisis de la segunda fila de la tabla:
[tex]\[ +2n, \quad -10m, \quad +32n, \quad ? \quad +512n \][/tex]

#### Secuencia de 'n':

1. De [tex]\(-8n\)[/tex] a [tex]\(+32n\)[/tex]:
- Aquí observamos que [tex]\( -8n \times (-4) = +32n\)[/tex].

2. A continuación de [tex]\(+32n\)[/tex] a ? (valor por hallar):
- Si se trata de una secuencia multiplicativa como observamos, multiplicar [tex]\(+32n\)[/tex] por algún valor que sigue el patrón adecuado.
- Observando, [tex]\((-4 \times 4) + 32n \times 4 = 128n\)[/tex]. Entonces el valor potencial y óptimo aquí podría ser +128n.

3. De ? a [tex]\(+512n\)[/tex]:
- Continuando con el patrón, [tex]\((+128n \times 4) = 512n\)[/tex].

Conclusiones:
Verificamos nuestras secuencias y obtemos:

### La opción correcta:
[tex]\[ +128n, +140m \][/tex]

Así que la respuesta correcta se deriva como:

3. [tex]\(+128n, +140m\)[/tex].

Por lo tanto, la opción correcta que completa la figura de la tabla dada es la opción 3.