Claro, vamos a resolver cada uno de los problemas paso a paso:
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### Ejercicio a)
[tex]\[ \sqrt[3]{-\frac{\square}{1000}} = -\frac{7}{10} \][/tex]
Primero, necesitamos deshacernos de la raíz cúbica. Para hacerlo, cubamos ambos lados de la ecuación:
[tex]\[ \left( \sqrt[3]{-\frac{\square}{1000}} \right)^3 = \left( -\frac{7}{10} \right)^3 \][/tex]
Al hacer esto, cancelamos la raíz cúbica del lado izquierdo, y cubamos el lado derecho:
[tex]\[ -\frac{\square}{1000} = -\frac{343}{1000} \][/tex]
Multiplicamos ambos lados por -1000 para despejar [tex]\(\square\)[/tex]:
[tex]\[ \square = 343 \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ \square = 343 \][/tex]
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### Ejercicio b)
[tex]\[ \sqrt[6]{\square} = \frac{2}{3} \][/tex]
Para resolver esta ecuación, elevemos ambos lados al poder de 6:
[tex]\[ \left( \sqrt[6]{\square} \right)^6 = \left( \frac{2}{3} \right)^6 \][/tex]
Al hacer esto, cancelamos la raíz sexta del lado izquierdo, y elevamos al poder de 6 el lado derecho:
[tex]\[ \square = \left( \frac{2}{3} \right)^6 \][/tex]
Simplifiquemos la fracción:
[tex]\[ \square = \left( \frac{2}{3} \right)^6 ≈ 0.08779149519890257 \][/tex]
Resultado:
[tex]\[ \square ≈ 0.0878 \][/tex]
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### Ejercicio c)
[tex]\[ \sqrt{\frac{6561}{625}} = \frac{9}{5} \][/tex]
Para verificar esta igualdad, elevemos ambos lados al poder de 2:
[tex]\[ \left( \sqrt{\frac{6561}{625}} \right)^2 = \left( \frac{9}{5} \right)^2 \][/tex]
Al hacer esto, cancelamos la raíz cuadrada en el lado izquierdo:
[tex]\[ \frac{6561}{625} = \left( \frac{9}{5} \right)^2 \][/tex]
Ya que:
[tex]\[ \left( \frac{9}{5} \right)^2 = \frac{81}{25} = 3.24 \][/tex]
Debido a que la fracción inicial es igual al término derecho, verificamos que el [tex]\( \sqrt{\frac{6561}{625}} = \frac{9}{5} \)[/tex] era correcta.
Resultado:
[tex]\[ \frac{6561}{625} = 10.4976 \][/tex]
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### Ejercicio d)
[tex]\[ \sqrt{-0.512} = -0.8 \][/tex]
Para verificar esta expresión, elevemos ambos lados al poder de 2:
[tex]\[ \left( \sqrt{-0.512} \right)^2 = \left( -0.8 \right)^2 \][/tex]
Al hacer esto, cancelamos la raíz cuadrada del lado izquierdo:
[tex]\[ -0.512 = \left( -0.8 \right)^2 \][/tex]
Es necesario recordar que al elevar al cuadrado un número negativo, el resultado es positivo:
[tex]\[ (-0.8)^2 = 0.64 \][/tex]
Dado que no podemos tomar la raíz cuadrada de un número negativo en el conjunto de los números reales, esta expresión es incorrecta.
Resultado:
[tex]\[ -0.512 \ne 0.64 \][/tex]
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En resumen:
1. [tex]\( \square = 343 \)[/tex]
2. [tex]\( \square ≈ 0.0878 \)[/tex]
3. [tex]\( \frac{6561}{625} = 10.4976 \)[/tex]
4. La expresión d) es incorrecta.
Espero que esto te haya sido de ayuda. ¡Buena suerte con tus estudios!
