Para abordar la función piecewise [tex]\( g(x) \)[/tex], necesitamos determinar su dominio y rango.
### Dominio de la función [tex]\( g(x) \)[/tex]
Primero, examinemos cada parte de la función piecewise para determinar su dominio.
1. Primera pieza: [tex]\( x^2 + 2 \)[/tex] cuando [tex]\(-2 \leq x < 0\)[/tex]
- El dominio para esta parte de la función es [tex]\([-2, 0)\)[/tex].
2. Segunda pieza: [tex]\(-(x + 1)\)[/tex] cuando [tex]\(0 \leq x < 5\)[/tex]
- El dominio para esta parte de la función es [tex]\([0, 5)\)[/tex].
El dominio total de la función [tex]\( g(x) \)[/tex] es la unión de estos subconjuntos:
[tex]\[ \text{Dominio} = [(-2, 0), (0, 5)] \][/tex]
### Rango de la función [tex]\( g(x) \)[/tex]
Ahora, procedamos a calcular el rango de [tex]\( g(x) \)[/tex].
1. Primera pieza: [tex]\( x^2 + 2 \)[/tex] para [tex]\(-2 \leq x < 0\)[/tex]
- Para el extremo inferior [tex]\( x = -2 \)[/tex]:
[tex]\[ g(-2) = (-2)^2 + 2 = 4 + 2 = 6 \][/tex]
- Para el extremo superior [tex]\( x \to 0^{-} \)[/tex] (justo antes de 0):
[tex]\[ g(x) \to 0^2 + 2 = 2 \][/tex]
- Dado que [tex]\(-2 \leq x < 0\)[/tex], la función [tex]\((x^2 + 2)\)[/tex] toma valores continuamente entre 2 y 6. Invertido, no incluye el 2.
Por lo tanto, el rango de la primera pieza es [tex]\( [2, 6] \)[/tex].
2. Segunda pieza: [tex]\(-(x + 1)\)[/tex] para [tex]\(0 \leq x < 5\)[/tex]
- Para el extremo inferior [tex]\( x = 0 \)[/tex]:
[tex]\[ g(0) = -(0 + 1) = -1 \][/tex]
- Para el extremo superior [tex]\( x \to 5^{-} \)[/tex] (justo antes de 5):
[tex]\[ g(4.9999) \approx -(4.9999 + 1) = -5.9999 \][/tex]
- Dado que [tex]\(0 \leq x < 5\)[/tex], la función [tex]\(-(x + 1)\)[/tex] toma valores continuamente entre -1 y -5.9999. Invertido, no incluye el -6.
Por lo tanto, el rango de la segunda pieza es [tex]\( [-5.9999, -1] \)[/tex].
### Rango total de la función [tex]\( g(x) \)[/tex]
El rango total es la unión de los rangos de las dos piezas:
[tex]\[ \text{Rango} = [-5.9999, 6) \][/tex]
### Resumen Final
- Dominio de [tex]\( g(x) \)[/tex]:
[tex]\[ [(-2, 0), (0, 5)] \][/tex]
- Rango de [tex]\( g(x) \)[/tex]:
[tex]\[ (-5.9999, 6) \][/tex]
De manera que hemos identificado completamente el dominio y el rango de la función piecewise [tex]\( g(x) \)[/tex].
