Para resolver este problema, empezaremos definiendo tres números desconocidos: el primer número [tex]\( x \)[/tex], el segundo número [tex]\( y \)[/tex] y el tercer número [tex]\( z \)[/tex].
### Paso 1: Traducir las condiciones del problema a ecuaciones algebraicas
1. La suma de los tres números es 12:
[tex]\[
x + y + z = 12
\][/tex]
2. El segundo número es 1 más que tres veces el primero:
[tex]\[
y = 3x + 1
\][/tex]
3. El tercer número es 1 menos que dos veces el segundo:
[tex]\[
z = 2y - 1
\][/tex]
### Paso 2: Sustitución y resolución del sistema de ecuaciones
Sustituimos la ecuación [tex]\( y = 3x + 1 \)[/tex] en la ecuación [tex]\( x + y + z = 12 \)[/tex]:
[tex]\[
x + (3x + 1) + z = 12
\][/tex]
Esto simplifica a:
[tex]\[
4x + 1 + z = 12
\][/tex]
Luego sustituimos [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[
z = 2y - 1
\][/tex]
[tex]\[
z = 2(3x + 1) - 1
\][/tex]
[tex]\[
z = 6x + 2 - 1
\][/tex]
[tex]\[
z = 6x + 1
\][/tex]
Sustituimos este valor de [tex]\( z \)[/tex] en nuestra ecuación simplificada:
[tex]\[
4x + 1 + (6x + 1) = 12
\][/tex]
Simplificamos:
[tex]\[
10x + 2 = 12
\][/tex]
[tex]\[
10x = 10
\][/tex]
[tex]\[
x = 1
\][/tex]
Encontramos [tex]\( y \)[/tex]:
[tex]\[
y = 3x + 1
\][/tex]
[tex]\[
y = 3(1) + 1
\][/tex]
[tex]\[
y = 4
\][/tex]
Finalmente, encontramos [tex]\( z \)[/tex]:
[tex]\[
z = 2y - 1
\][/tex]
[tex]\[
z = 2(4) - 1
\][/tex]
[tex]\[
z = 8 - 1
\][/tex]
[tex]\[
z = 7
\][/tex]
### Paso 3: Evaluar las afirmaciones dadas
a) El tercer número es 6.
[tex]\[
z = 7 \quad \text{(Falso)}
\][/tex]
b) La suma del primero y el segundo es 7.
[tex]\[
x + y = 1 + 4 = 5 \quad \text{(Falso)}
\][/tex]
c) El segundo número es 5.
[tex]\[
y = 4 \quad \text{(Falso)}
\][/tex]
d) La suma del primero y el tercero es 8.
[tex]\[
x + z = 1 + 7 = 8 \quad \text{(Verdadero)}
\][/tex]
e) El primer número es 2.
[tex]\[
x = 1 \quad \text{(Falso)}
\][/tex]
### Resumen
Las soluciones verifican que las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas:
```
a) Falso
b) Falso
c) Falso
d) Verdadero
e) Falso
```
Los valores de los números son:
[tex]\[
x = 1, \quad y = 4, \quad z = 7
\][/tex]
