Vamos a resolver las dos desigualdades lineales por separado y proporcionar la solución en términos de intervalos.
### Parte (a)
Dada la desigualdad:
[tex]\[ -3x + 12 \geq 7x - 8 \][/tex]
Primero, trasladamos todos los términos en [tex]\(x\)[/tex] a un lado y los constantes al otro lado:
[tex]\[ -3x + 12 - 7x \geq -8 \][/tex]
[tex]\[ -10x + 12 \geq -8 \][/tex]
Luego, aislamos el término con [tex]\(x\)[/tex] restando 12 de ambos lados:
[tex]\[ -10x \geq -8 - 12 \][/tex]
[tex]\[ -10x \geq -20 \][/tex]
Ahora, dividimos ambos lados por [tex]\(-10\)[/tex]. Recuerda que al dividir o multiplicar por un número negativo, cambia el sentido de la desigualdad:
[tex]\[ x \leq 2 \][/tex]
Por lo tanto, la solución para la primera desigualdad es:
[tex]\[ (-\infty, 2] \][/tex]
### Parte (b)
Para resolver la segunda desigualdad:
[tex]\[ \frac{1}{3x - 2} < 0 \][/tex]
Identificamos los valores de [tex]\(x\)[/tex] para los cuales la fracción es negativa. La fracción [tex]\(\frac{1}{3x - 2}\)[/tex] será negativa cuando el denominador [tex]\(3x - 2\)[/tex] sea negativo. Entonces:
[tex]\[ 3x - 2 < 0 \][/tex]
[tex]\[ 3x < 2 \][/tex]
[tex]\[ x < \frac{2}{3} \][/tex]
Así que, [tex]\(x\)[/tex] debe ser menor que [tex]\(\frac{2}{3}\)[/tex] para que la fracción sea negativa.
Por lo tanto, la solución para la segunda desigualdad es:
[tex]\[ (-\infty, \frac{2}{3}) \][/tex]
### Conclusión
Resumiendo, las soluciones de las desigualdades son:
1. Para la desigualdad [tex]\(-3x + 12 \geq 7x - 8\)[/tex]:
[tex]\[ (-\infty, 2] \][/tex]
2. Para la desigualdad [tex]\(\frac{1}{3x - 2} < 0\)[/tex]:
[tex]\[ (-\infty, \frac{2}{3}) \][/tex]
