¡Claro! Vamos a simplificar la expresión paso a paso:
La expresión a simplificar es:
[tex]\[
\sqrt[5]{\frac{x^{12}}{x^7}} \cdot \sqrt[4]{x^{16}}
\][/tex]
### Paso 1: Simplificar la primera raíz radical
Primero, simplifiquemos el argumento dentro de la primera raíz radical:
[tex]\[
\frac{x^{12}}{x^7}
\][/tex]
Podemos simplificar esto utilizando la ley de los exponentes que dice que cuando dividimos dos potencias que tienen la misma base, restamos los exponentes:
[tex]\[
\frac{x^{12}}{x^7} = x^{12-7} = x^5
\][/tex]
Entonces, la primera raíz radical se convierte en:
[tex]\[
\sqrt[5]{x^5}
\][/tex]
Reconociendo que tomar la quinta raíz de [tex]\(x^5\)[/tex] es simplemente [tex]\(x\)[/tex]:
[tex]\[
\sqrt[5]{x^5} = x
\][/tex]
### Paso 2: Simplificar la segunda raíz radical
Ahora, simplifiquemos la segunda raíz radical:
[tex]\[
\sqrt[4]{x^{16}}
\][/tex]
Podemos reescribir esto como una potencia con un exponente racional:
[tex]\[
\sqrt[4]{x^{16}} = (x^{16})^{1/4}
\][/tex]
Utilizando la propiedad de que [tex]\((a^m)^n = a^{m \cdot n}\)[/tex]:
[tex]\[
(x^{16})^{1/4} = x^{16 \cdot 1/4} = x^4
\][/tex]
### Paso 3: Multiplicar los resultados
Ya hemos simplificado ambas raíces radicales:
[tex]\[
\sqrt[5]{x^5} = x \quad \text{y} \quad \sqrt[4]{x^{16}} = x^4
\][/tex]
Ahora, multiplicamos los resultados:
[tex]\[
x \cdot x^4
\][/tex]
Usando la propiedad de los exponentes que dice que cuando multiplicamos dos potencias de la misma base, sumamos los exponentes:
[tex]\[
x \cdot x^4 = x^{1+4} = x^5
\][/tex]
### Resumen
La expresión simplificada es:
[tex]\[
\sqrt[5]{\frac{x^{12}}{x^7}} \cdot \sqrt[4]{x^{16}} = x^5
\][/tex]
Por lo tanto, la respuesta final es:
[tex]\[
x^5
\][/tex]
