Para simplificar la expresión [tex]\(E = \sqrt[n]{\frac{8 n + \sqrt[n]{\frac{16^{n^2} + 8^{n^2}}{4^{n^2} + 2^{n^2}}}}{2^n + 1}}\)[/tex], seguiremos los siguientes pasos:
1. Observamos la estructura de la expresión para identificar las divisiones y potencias involucradas:
[tex]\[
E = \left( \frac{8n + \left( \frac{16^{n^2} + 8^{n^2}}{4^{n^2} + 2^{n^2}} \right)^{1/n}}{2^n + 1} \right)^{1/n}
\][/tex]
2. Denotamos [tex]\(N_1 = 2^{n^2}\)[/tex], de modo que podemos reescribir la expresión interna como:
[tex]\[
\frac{16^{n^2} + 8^{n^2}}{4^{n^2} + 2^{n^2}}
\][/tex]
Usando [tex]\(N_1\)[/tex], tenemos [tex]\(16^{n^2} = (2^4)^{n^2} = (2^{n^2})^4 = (N_1)^4\)[/tex], [tex]\(8^{n^2} = (2^3)^{n^2} = (2^{n^2})^3 = (N_1)^3\)[/tex], etc.
3. Reemplazando estos equivalentes, la expresión sigue siendo:
[tex]\[
\frac{(N_1)^4 + (N_1)^3}{(N_1)^2 + N_1}
\][/tex]
4. Simplificamos la fracción:
[tex]\[
\frac{(2^{n^2})^4 + (2^{n^2})^3}{(2^{n^2})^2 + 2^{n^2}} = \frac{2^{4n^2} + 2^{3n^2}}{2^{2n^2} + 2^{n^2}}
\][/tex]
5. Ahora re-escribimos la expresión completa sustituyendo nuevamente en [tex]\(E\)[/tex]:
[tex]\[
E = \left( \frac{8n + \left( \frac{2^{4n^2} + 2^{3n^2}}{2^{2n^2} + 2^{n^2}} \right)^{1/n}}{2^n + 1} \right)^{1/n}
\][/tex]
6. Simplificamos aún más usando propiedades de las potencias y de los logaritmos, siempre que sean evidentes las simplificaciones.
El resultado de todo este proceso de simplificación es:
[tex]\[
E = \left( \frac{8n \cdot (2^{n^2} + 4^{n^2}) + (16^{n^2} + 8^{n^2})^{1/n}}{2^{n^2} + 4^{n^2}} \right)^{1/n} / (2^n + 1)^{1/n}
\][/tex]
De este resultado vemos que la expresión original puede simplificarse a:
[tex]\[
\left( \frac{8n (2^{n^2} + 4^{n^2}) + (16^{n^2} + 8^{n^2})^{1/n}}{2^{n^2} + 4^{n^2}} \right)^{1/n} / \left( 2^n + 1 \right)^{1/n}
\][/tex]
Y con esto hemos llegado a la forma simplificada final de la expresión dada.
