Para determinar cuál de las expresiones dadas es equivalente a [tex]\(\frac{100a^2 - 20a + 1}{100}\)[/tex], vamos a seguir un proceso de simplificación paso a paso.
Primero, observamos el numerador de la fracción [tex]\(\frac{100a^2 - 20a + 1}{100}\)[/tex]. Notemos que [tex]\(100a^2 - 20a + 1\)[/tex] es un trinomio cuadrado perfecto. Un trinomio cuadrado perfecto tiene la forma [tex]\((\text{algo})^2\)[/tex]. Busquemos cómo se factoriza este trinomio.
Recordemos que [tex]\[(\text{algo})^2 = (\text{algo}) (\text{algo}).\][/tex]
1. Escribimos el trinomio cuadrado perfecto en forma factorizada:
[tex]\[
100a^2 - 20a + 1 = (10a - 1)^2.
\][/tex]
Esto funciona porque:
[tex]\[
(10a - 1)^2 = (10a - 1)(10a -1) = 100a^2 - 10a - 10a + 1 = 100a^2 - 20a + 1.
\][/tex]
2. Ahora reescribimos la fracción original utilizando esta factorización:
[tex]\[
\frac{100a^2 - 20a + 1}{100} = \frac{(10a - 1)^2}{100}.
\][/tex]
3. Simplificamos la fracción dividiendo tanto el numerador como el denominador por 100:
[tex]\[
\frac{(10a - 1)^2}{100} = \left(\frac{10a - 1}{10}\right)^2.
\][/tex]
4. Simplificamos el término dentro del paréntesis:
[tex]\[
\left(\frac{10a - 1}{10}\right)^2 = (a - \frac{1}{10})^2.
\][/tex]
Entonces, la fracción original [tex]\(\frac{100a^2 - 20a + 1}{100}\)[/tex] se simplifica a [tex]\((a - \frac{1}{10})^2\)[/tex].
Comparando esta expresión con las opciones dadas:
A) [tex]\(\frac{1}{10} - a^2 \)[/tex]. No es equivalente.
B) [tex]\(a^2 - \frac{1}{10} \)[/tex]. No es equivalente.
C) [tex]\(\left(\frac{1}{100} - a\right)^2 \frac{1}{1000} - a^2 \)[/tex]. No es equivalente.
D) [tex]\(\left(a - \frac{1}{10}\right)^2 \quad a^2 - \frac{1}{100}\)[/tex]. Correcta fórmula, la ecuación completa no es equivalente.
Por lo tanto, la opción correcta es:
(D) [tex]\(\left(a - \frac{1}{10}\right)^2.\)[/tex]
