Para encontrar a fração inicial, vamos seguir os passos abaixo:
1. Denote a fração inicial como [tex]\(\frac{x}{y}\)[/tex].
2. Sabemos que [tex]\(\frac{x}{y} = \frac{7}{4}\)[/tex]. Isso nos dá a primeira equação:
[tex]\[
\frac{x}{y} = \frac{7}{4}
\][/tex]
Podemos reescrever essa equação multiplicando ambos os lados por [tex]\(4y\)[/tex]:
[tex]\[
4x = 7y \quad \text{(1)}
\][/tex]
3. Além disso, sabemos que ao adicionar 2 ao denominador dessa fração, ela se tornará equivalente a [tex]\(\frac{3}{2}\)[/tex]. Isso nos dá a segunda equação:
[tex]\[
\frac{x}{y+2} = \frac{3}{2}
\][/tex]
Podemos reescrever essa equação multiplicando ambos os lados por [tex]\(2(y + 2)\)[/tex]:
[tex]\[
2x = 3(y + 2) \quad \text{(2)}
\][/tex]
Expandindo a equação (2):
[tex]\[
2x = 3y + 6
\][/tex]
4. Agora, temos o sistema de equações:
[tex]\[
\begin{cases}
4x = 7y & \text{(1)} \\
2x = 3y + 6 & \text{(2)}
\end{cases}
\][/tex]
5. Multiplicamos a equação (2) por 2 para facilitar a eliminação:
[tex]\[
4x = 6y + 12 \quad \text{(3)}
\][/tex]
6. Subtraímos a equação (3) da equação (1):
[tex]\[
4x - 4x = 7y - (6y + 12)
\][/tex]
[tex]\[
0 = y - 12
\][/tex]
[tex]\[
y = 12
\][/tex]
7. Substituímos [tex]\(y = 12\)[/tex] na equação (1):
[tex]\[
4x = 7(12)
\][/tex]
[tex]\[
4x = 84
\][/tex]
[tex]\[
x = 21
\][/tex]
Portanto, a fração inicial é [tex]\(\frac{21}{12}\)[/tex]. Simplificando, temos:
[tex]\[
\frac{21}{12} = \frac{7}{4}
\][/tex]
Finalmente, a fração inicial é [tex]\(\frac{21}{12}\)[/tex] ou [tex]\(\frac{7}{4}\)[/tex] na forma simplificada.
