Para resolver la cuestión de determinar qué proposición es verdadera respecto de la factorización de la expresión [tex]\(27 a^3 - 729 b^3\)[/tex], sigamos estos pasos:
1. Identificación de la expresión dada:
[tex]\[ 27 a^3 - 729 b^3 \][/tex]
2. Reconocimiento de la forma de factorización:
Observamos que la expresión es una diferencia de cubos, de la forma [tex]\(27 a^3 - (9b)^3\)[/tex].
3. Descomposición en términos más simples:
Sabemos que la diferencia de cubos [tex]\(x^3 - y^3\)[/tex] se puede factorizar como:
[tex]\[ x^3 - y^3 = (x - y)(x^2 + xy + y^2) \][/tex]
En nuestra expresión:
[tex]\[ x = 3a \][/tex]
[tex]\[ y = 9b \][/tex]
4. Aplicamos la factorización de diferencias de cubos:
Sustituyendo [tex]\(x\)[/tex] y [tex]\(y\)[/tex] en la fórmula obtenemos:
[tex]\[ 27 a^3 - 729 b^3 = (3a)^3 - (9b)^3 \][/tex]
Utilizando la factorización de la diferencia de cubos:
[tex]\[ (3a)^3 - (9b)^3 = (3a - 9b) \left( (3a)^2 + (3a)(9b) + (9b)^2 \right) \][/tex]
5. Simplificación de los términos en el segundo factor:
Calculamos los términos dentro del paréntesis:
- [tex]\( (3a)^2 = 9a^2 \)[/tex]
- [tex]\( (3a)(9b) = 27ab \)[/tex]
- [tex]\( (9b)^2 = 81b^2 \)[/tex]
Por lo tanto, el segundo factor se convierte en:
[tex]\[ (3a - 9b)(9a^2 + 27ab + 81b^2) \][/tex]
6. Reducción de los factores:
Ahora tenemos nuestra expresión factorizada:
[tex]\[ 27 a^3 - 729 b^3 = 27(a - 3b)(a^2 + 3ab + 9b^2) \][/tex]
7. Verificación de las proposiciones:
A partir de la factorización:
- Proposición A: [tex]\(a^2 + 3ab + 9b^2\)[/tex] es de hecho un factor del segundo término. Verdadera.
- Proposición B: [tex]\(3a + 9b\)[/tex] no aparece en la factorización. Falsa.
- Proposición C: [tex]\(a - 9b\)[/tex] no aparece en la factorización. Falsa.
- Proposición D: El número 23 no está presente como factor. Falsa.
Conclusión:
La proposición verdadera es la (A): [tex]\(a^2 + 3ab + 9b^2\)[/tex] es un factor algebraico de la expresión.
