Para resolver este problema, analizaremos la función de pago por consumo eléctrico por partes y responderemos a cada subpregunta por separado.
### a) Determinar el consumo de una familia que paga 545 soles
Tenemos la función de pago que depende del consumo en kilowatts [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
P(x)=\left\{\begin{array}{lrr}
2x - 10 & \text{si } 0 \leq x < 10 \\
3x + 40 & \text{si } 10 \leq x < 30 \\
2x + 60 & \text{si } x \geq 30
\end{array}\right.
\][/tex]
Queremos encontrar [tex]\( x \)[/tex] cuando [tex]\( P(x) = 545 \)[/tex] soles.
1. Para el rango [tex]\( 0 \leq x < 10 \)[/tex]:
[tex]\[
2x - 10 = 545
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x = 555 \implies x = \frac{555}{2} = 277.5
\][/tex]
Este valor no está en el rango de [tex]\( 0 \leq x < 10 \)[/tex].
2. Para el rango [tex]\( 10 \leq x < 30 \)[/tex]:
[tex]\[
3x + 40 = 545
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
3x = 505 \implies x = \frac{505}{3} \approx 168.33
\][/tex]
Este valor no está en el rango de [tex]\( 10 \leq x < 30 \)[/tex].
3. Para el rango [tex]\( x \geq 30 \)[/tex]:
[tex]\[
2x + 60 = 545
\][/tex]
Resolviendo para [tex]\( x \)[/tex]:
[tex]\[
2x = 485 \implies x = \frac{485}{2} = 242.5
\][/tex]
Este valor no está en el rango [tex]\( x \geq 30 \)[/tex] ya que [tex]\( x = 242.5 \)[/tex] es razonable en este rango.
Por lo tanto, el consumo de la familia es [tex]\( \frac{555}{2} \)[/tex] kilowatts.
### b) Determinar el pago por un consumo de 15 kilowatts
Ahora, necesitamos calcular el pago [tex]\( P(x) \)[/tex] para un consumo de 15 kilowatts.
Dado [tex]\( x = 15 \)[/tex], este valor está en el rango [tex]\( 10 \leq x < 30 \)[/tex]. Usamos la fórmula correspondiente a este rango:
[tex]\[
P(x) = 3x + 40
\][/tex]
Sustituyendo [tex]\( x = 15 \)[/tex]:
[tex]\[
P(15) = 3(15) + 40 = 45 + 40 = 85 \text{ soles}
\][/tex]
Por lo tanto, si se han consumido 15 kilowatt en un determinado mes, se debe pagar 85 soles.
### Resumen
a) Si una familia paga 545 soles, su consumo es [tex]\( \frac{555}{2} \)[/tex] kilowatts.
b) Si se ha consumido 15 kilowatts en un mes, se debe pagar 85 soles.
