Para calcular el cociente y el residuo de la división de dos polinomios, podemos utilizar la división larga de polinomios. Vamos a dividir el polinomio [tex]\(5x^4 + 10x^3 - 6x - 12\)[/tex] entre [tex]\(x + 2\)[/tex].
### Paso 1: Setup
Escribimos la división en forma de división larga:
[tex]\[
\frac{5x^4 + 10x^3 - 6x - 12}{x + 2}
\][/tex]
### Paso 2: Dividir el primer término
Dividimos el primer término del dividendo ([tex]\(5x^4\)[/tex]) por el primer término del divisor ([tex]\(x\)[/tex]):
[tex]\[
\frac{5x^4}{x} = 5x^3
\][/tex]
Escribimos [tex]\(5x^3\)[/tex] como el primer término del cociente.
### Paso 3: Multiplicar y restar
Multiplicamos [tex]\(5x^3\)[/tex] por [tex]\(x + 2\)[/tex] y restamos ese producto del dividendo.
[tex]\[
(5x^4 + 10x^3 - 6x - 12) - (5x^3 \cdot (x + 2)) = 5x^4 + 10x^3 - (5x^4 + 10x^3) - 6x - 12
\][/tex]
Simplificando, obtenemos:
[tex]\[
5x^4 + 10x^3 - 5x^4 - 10x^3 = 0
\][/tex]
Ahora nuestra nueva expresión es:
[tex]\[
0 - 6x - 12
\][/tex]
### Paso 4: Repetir para los siguientes términos
Repetimos el proceso para los siguientes términos.
#### 4.1: Primer término del nuevo dividendo:
[tex]\[
\frac{0}{x} = 0
\][/tex]
Multiplicamos 0 por [tex]\(x+2\)[/tex]:
[tex]\[
(0 \cdot (x + 2)) = 0
\][/tex]
Resta del dividendo:
[tex]\[
-6x - 12 - 0 = -6x - 12
\][/tex]
### Paso 5: Continuar dividiendo
### Nota: En cada paso nuestros pasos anteriores eliminaban los términos, y ahora observe que solo queda el residuo, ya que [tex]\(5x^3\)[/tex] fue todo el cociente.
### Paso 6: Resultado final
Así llegamos a:
- Cociente: [tex]\(5x^3\)[/tex]
- Residuo: [tex]\(-6x - 12\)[/tex]
Por lo tanto, el cociente y residuo de la división [tex]\((5x^4 + 10x^3 - 6x - 12) \div (x + 2)\)[/tex] son:
- Cociente: [tex]\(5x^3\)[/tex]
- Residuo: [tex]\(-6x - 12\)[/tex]
