Para factorizar la expresión [tex]\(27 p^3 q^6 - 125 r^3 s^3\)[/tex], sigamos los siguientes pasos detalladamente:
1. Identificación de términos comunes:
Primero, observemos si hay algo en común en los términos de la expresión [tex]\(27 p^3 q^6 - 125 r^3 s^3\)[/tex]. Vemos que ambos términos son cubos perfectos:
- [tex]\(27 p^3 q^6 = (3 p q^2)^3\)[/tex]
- [tex]\(125 r^3 s^3 = (5 r s)^3\)[/tex]
2. Aplicación de la fórmula de diferencia de cubos:
Recordemos la fórmula para la diferencia de cubos, la cual es:
[tex]\[
a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)
\][/tex]
Donde [tex]\(a = 3 p q^2\)[/tex] y [tex]\(b = 5 r s\)[/tex].
3. Sustitución de los valores:
Al sustituir [tex]\(a = 3 p q^2\)[/tex] y [tex]\(b = 5 r s\)[/tex] en la fórmula, tenemos:
[tex]\[
(3 p q^2 - 5 r s)\left((3 p q^2)^2 + (3 p q^2)(5 r s) + (5 r s)^2\right)
\][/tex]
4. Expansión de los términos:
Ahora expandimos y simplificamos los términos dentro del paréntesis cuadrado:
- [tex]\((3 p q^2)^2 = 9 p^2 q^4\)[/tex]
- [tex]\((3 p q^2)(5 r s) = 15 p q^2 r s\)[/tex]
- [tex]\((5 r s)^2 = 25 r^2 s^2\)[/tex]
Entonces, la expresión completa se convierte en:
[tex]\[
(3 p q^2 - 5 r s)(9 p^2 q^4 + 15 p q^2 r s + 25 r^2 s^2)
\][/tex]
5. Verificación con las opciones dadas:
Comparando con las opciones proporcionadas:
[tex]\[
c. (3 p q^2 - 5 r s)(9 p^2 q^4 + 15 p q^2 r s + 25 r^2 s^2)
\][/tex]
Podemos ver que la opción correcta es la [tex]\( c \)[/tex].
Por lo tanto, la expresión factorizada de [tex]\(27 p^3 q^6 - 125 r^3 s^3\)[/tex] es:
[tex]\[
(3 p q^2 - 5 r s)(9 p^2 q^4 + 15 p q^2 r s + 25 r^2 s^2)
\][/tex]
Y la opción correcta es la [tex]\(c\)[/tex].
