Para resolver el problema de determinar la velocidad de la glicerina en un tubo de 3 cm de diámetro conectado a otro tubo de 5 cm de diámetro, utilizamos el principio de continuidad. Este principio establece que el flujo de un fluido en un sistema cerrado es constante, lo que significa que la cantidad de fluido que pasa por una sección es igual a la cantidad de fluido que pasa por cualquier otra sección.
El principio de continuidad se puede expresar matemáticamente como:
[tex]\[ A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \][/tex]
Donde:
- [tex]\(A_1\)[/tex] es el área de la sección transversal del primer tubo.
- [tex]\(v_1\)[/tex] es la velocidad del fluido en el primer tubo.
- [tex]\(A_2\)[/tex] es el área de la sección transversal del segundo tubo.
- [tex]\(v_2\)[/tex] es la velocidad del fluido en el segundo tubo.
Nos han dado los siguientes datos:
- Diámetro del primer tubo ([tex]\(d_1\)[/tex]): 5 cm
- Velocidad del fluido en el primer tubo ([tex]\(v_1\)[/tex]): [tex]\(0.54 \frac{m}{s}\)[/tex]
- Diámetro del segundo tubo ([tex]\(d_2\)[/tex]): 3 cm
Primero, necesitamos calcular las áreas de las secciones transversales de ambos tubos. Utilizaremos la fórmula para el área de un círculo, que es:
[tex]\[ A = \pi \left( \frac{d}{2} \right)^2 \][/tex]
Paso 1: Calcular el área de la sección transversal del primer tubo ([tex]\(A_1\)[/tex]):
[tex]\[ A_1 = \pi \left( \frac{5}{2} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ A_1 \approx 19.63 \; cm^2 \][/tex]
Paso 2: Calcular el área de la sección transversal del segundo tubo ([tex]\(A_2\)[/tex]):
[tex]\[ A_2 = \pi \left( \frac{3}{2} \right)^2 \][/tex]
[tex]\[ A_2 \approx 7.07 \; cm^2 \][/tex]
Paso 3: Calcular la velocidad en el segundo tubo ([tex]\(v_2\)[/tex]):
Usamos la ecuación de continuidad:
[tex]\[ A_1 \cdot v_1 = A_2 \cdot v_2 \][/tex]
[tex]\[ v_2 = \frac{A_1 \cdot v_1}{A_2} \][/tex]
[tex]\[ v_2 = \frac{19.63 \; cm^2 \cdot 0.54 \; m/s}{7.07 \; cm^2} \][/tex]
[tex]\[ v_2 \approx 1.5 \; m/s \][/tex]
Por lo tanto, la velocidad de la glicerina en el segundo tubo de 3 cm de diámetro es aproximadamente [tex]\(1.5 \frac{m}{s}\)[/tex].
